整数 $x, y$ の組で、$221x + 7y = 1$ を満たすもののうち、$x$ と $y$ の絶対値が最も小さいものを求め、$x$ と $y$ の値を答える問題です。

1. 問題の内容

整数 $x, y$ の組で、$221x + 7y = 1$ を満たすもののうち、$x$ と $y$ の絶対値が最も小さいものを求め、$x$ と $y$ の値を答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形します。

$221x + 7y = 1$

$221 = 7 \times 31 + 4$ より、$221$ を $7$ で割ると商が $31$、余りが $4$ です。

$7 = 4 \times 1 + 3$ より、$7$ を $4$ で割ると商が $1$、余りが $3$ です。

$4 = 3 \times 1 + 1$ より、$4$ を $3$ で割ると商が $1$、余りが $1$ です。

これらの式を使って、$1$ を $221$ と $7$ の線形結合で表します。

$1 = 4 - 3 \times 1$

$1 = 4 - (7 - 4 \times 1) \times 1 = 4 - 7 + 4 = 4 \times 2 - 7$

$1 = (221 - 7 \times 31) \times 2 - 7 = 221 \times 2 - 7 \times 62 - 7 = 221 \times 2 - 7 \times 63$

したがって、$221 \times 2 + 7 \times (-63) = 1$ が得られます。

$x = 2$、$y = -63$ は、$221x + 7y = 1$ を満たす解の一つです。

一般解を求めます。

$221x + 7y = 1$

$221 \times 2 + 7 \times (-63) = 1$

辺々引くと

$221(x-2) + 7(y+63) = 0$

$221(x-2) = -7(y+63)$

$31(x-2) = -(y+63)$ （なぜなら、$221 = 7\times 31$ なので）

$y+63 = -31(x-2)$

$y = -31x + 62 - 63$

$y = -31x - 1$

$x$ と $y$ の絶対値が最も小さいものを探します。

$x = 0$ のとき、$y = -1$。このとき、$|x| + |y| = 1$。

$x = 1$ のとき、$y = -32$。このとき、$|x| + |y| = 33$。

$x = -1$ のとき、$y = 30$。このとき、$|x| + |y| = 31$。

$x = 2$ のとき、$y = -63$。このとき、$|x| + |y| = 65$。

$x = 0$, $y = -1$が絶対値の和が最小となる解です。

3. 最終的な答え

x = 0, y = -1