与えられた式 $(b+c)(c+a)(a+b)+abc$ を展開し、簡略化することを求められています。

1. 問題の内容

与えられた式 $(b+c)(c+a)(a+b)+abc$ を展開し、簡略化することを求められています。

2. 解き方の手順

まず、$(b+c)(c+a)(a+b)$ を展開します。

最初に $(b+c)(c+a)$ を展開します。

$(b+c)(c+a) = bc + ba + c^2 + ca$

次に、この結果に $(a+b)$ をかけます。

$(bc + ba + c^2 + ca)(a+b) = (bc + ba + c^2 + ca)a + (bc + ba + c^2 + ca)b$

$= bca + ba^2 + c^2a + ca^2 + bc b + bab + c^2b + cab$

$= abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= 2abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2$

したがって、

$(b+c)(c+a)(a+b) = 2abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2$

次に、これに $abc$ を加えます。

$(b+c)(c+a)(a+b) + abc = 2abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= 3abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2$

この式は、因数分解できる形である可能性があります。

$3abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2$を整理すると、

$a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b) + 3abc$

$= a^2(b+c) + bc(b+c) + a(b^2+c^2+3bc)$

$= a^2(b+c) + bc(b+c) + a(b^2+2bc+c^2+bc)$

$= a^2(b+c) + bc(b+c) + a((b+c)^2+bc)$

また、$(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を $(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$ に代入して、$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$が得られます。

3. 最終的な答え

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$