図のような道がある地域で、以下の最短経路の数を求める問題です。 (1) AからBまで行く経路の数 (2) AからCを通ってBまで行く経路の数 (3) AからCを通らずにBまで行く経路の数

1. 問題の内容

図のような道がある地域で、以下の最短経路の数を求める問題です。

(1) AからBまで行く経路の数

(2) AからCを通ってBまで行く経路の数

(3) AからCを通らずにBまで行く経路の数

2. 解き方の手順

(1) AからBまで行く経路の数

AからBまで行くには、右に4回、下に3回移動する必要があります。

したがって、合計7回の移動のうち、右への移動を4回選ぶ組み合わせの数を求めればよいです。

これは、二項係数で表され、$_{7}C_{4}$ で計算できます。

$_{7}C_{4} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(2) AからCを通ってBまで行く経路の数

まず、AからCまで行く経路の数を求めます。AからCへは、右に1回、下に1回移動するので、合計2回の移動のうち、右への移動を1回選ぶ組み合わせの数を求めます。

これは、$_{2}C_{1} = \frac{2!}{1!1!} = 2$ 通りです。

次に、CからBまで行く経路の数を求めます。CからBへは、右に3回、下に2回移動するので、合計5回の移動のうち、右への移動を3回選ぶ組み合わせの数を求めます。

これは、$_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

AからCを通ってBまで行く経路の数は、AからCまでの経路の数とCからBまでの経路の数を掛け合わせたものです。

$2 \times 10 = 20$

(3) AからCを通らずにBまで行く経路の数

AからBまでの経路の総数から、AからCを通ってBまで行く経路の数を引けばよいです。

したがって、$35 - 20 = 15$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) AからBまで行く経路の数は35通り。

(2) AからCを通ってBまで行く経路の数は20通り。

(3) AからCを通らずにBまで行く経路の数は15通り。