(1) 曲線 $y = -x^3 + 2x^2$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題。 (2) 放物線 $y = 4 - x^2$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題。 (3) 2つの放物線 $y = x^2 - 3x + 2$ と $y = -x^2 + 7x - 10$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $y = -x^3 + 2x^2$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題。

(2) 放物線 $y = 4 - x^2$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題。

(3) 2つの放物線 $y = x^2 - 3x + 2$ と $y = -x^2 + 7x - 10$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

$y = -x^3 + 2x^2 = -x^2(x-2)$ と $x$ 軸の交点を求める。

$-x^2(x-2) = 0$ より、$x=0, 2$ 。

求める面積 $S$ は、

$S = \int_0^2 (-x^3 + 2x^2) dx = [-\frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3]_0^2 = -\frac{1}{4}(2^4) + \frac{2}{3}(2^3) = -4 + \frac{16}{3} = \frac{-12+16}{3} = \frac{4}{3}$

(2)

$y = 4 - x^2$ と $x$ 軸の交点を求める。

$4 - x^2 = 0$ より、$x = \pm 2$ 。

求める面積 $S$ は、

$S = \int_{-2}^2 (4-x^2) dx = [4x - \frac{1}{3}x^3]_{-2}^2 = (8 - \frac{8}{3}) - (-8 + \frac{8}{3}) = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48 - 16}{3} = \frac{32}{3}$

(3)

2つの放物線の交点を求める。

$x^2 - 3x + 2 = -x^2 + 7x - 10$

$2x^2 - 10x + 12 = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

$(x-2)(x-3) = 0$

$x = 2, 3$

$2 \le x \le 3$ のとき、$-x^2 + 7x - 10 \ge x^2 - 3x + 2$

求める面積 $S$ は、

$S = \int_2^3 ((-x^2 + 7x - 10) - (x^2 - 3x + 2)) dx = \int_2^3 (-2x^2 + 10x - 12) dx = [-\frac{2}{3}x^3 + 5x^2 - 12x]_2^3$

$= (-\frac{2}{3}(3^3) + 5(3^2) - 12(3)) - (-\frac{2}{3}(2^3) + 5(2^2) - 12(2)) = (-18 + 45 - 36) - (-\frac{16}{3} + 20 - 24) = -9 - (-\frac{16}{3} - 4) = -9 + \frac{16}{3} + 4 = -5 + \frac{16}{3} = \frac{-15+16}{3} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{4}{3}$

(2) $S = \frac{32}{3}$

(3) $S = \frac{1}{3}$