放物線 $C: y = x^2 - 2$ と直線 $l: y = x + 4$ がある。$C$ と $l$ の交点の $x$ 座標が小さい順に $A, B$ とする。以下の問いに答えよ。 (1) 点 $A, B$ における $C$ の接線をそれぞれ $l_A, l_B$ とする。$l_A, l_B$ の方程式を求めよ。 (2) $C$ と $l$ で囲まれる図形の面積 $S_1$ を求めよ。 (3) $C, l_A, l_B$ で囲まれる図形の面積 $S_2$ を求めよ。 (4) $l, l_A, l_B$ で囲まれる三角形の面積を $S$ とする。$S$ を $S_1, S_2$ で表せ。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2 - 2$ と直線 $l: y = x + 4$ がある。$C$ と $l$ の交点の $x$ 座標が小さい順に $A, B$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) 点 $A, B$ における $C$ の接線をそれぞれ $l_A, l_B$ とする。$l_A, l_B$ の方程式を求めよ。

(2) $C$ と $l$ で囲まれる図形の面積 $S_1$ を求めよ。

(3) $C, l_A, l_B$ で囲まれる図形の面積 $S_2$ を求めよ。

(4) $l, l_A, l_B$ で囲まれる三角形の面積を $S$ とする。$S$ を $S_1, S_2$ で表せ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$C$ と $l$ の交点を求める。

$x^2 - 2 = x + 4$ より、

$x^2 - x - 6 = 0$

$(x - 3)(x + 2) = 0$

$x = -2, 3$

したがって、$A(-2, 2), B(3, 7)$ である。

$C$ の導関数は $y' = 2x$ である。

点 $A$ における接線 $l_A$ の傾きは $2(-2) = -4$ である。

$l_A: y - 2 = -4(x + 2)$

$l_A: y = -4x - 6$

点 $B$ における接線 $l_B$ の傾きは $2(3) = 6$ である。

$l_B: y - 7 = 6(x - 3)$

$l_B: y = 6x - 11$

(2)

$S_1 = \int_{-2}^3 (x + 4 - (x^2 - 2)) dx$

$S_1 = \int_{-2}^3 (-x^2 + x + 6) dx$

$S_1 = [-\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 6x]_{-2}^3$

$S_1 = (-\frac{1}{3}(27) + \frac{1}{2}(9) + 6(3)) - (-\frac{1}{3}(-8) + \frac{1}{2}(4) + 6(-2))$

$S_1 = (-9 + \frac{9}{2} + 18) - (\frac{8}{3} + 2 - 12)$

$S_1 = (9 + \frac{9}{2}) - (\frac{8}{3} - 10)$

$S_1 = 19/2 + 22/3 = 57/6 + 44/6 = 125/6$

(3)

$l_A: y = -4x - 6$

$l_B: y = 6x - 11$

$S_2 = \int_{-2}^3 (x^2-2)dx - (\int_{-2}^3 (-4x-6)dx + \int_{-2}^3 (6x-11)dx)$

交点を求める:

$-4x - 6 = x^2 - 2 \Rightarrow x^2 + 4x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2$

$6x - 11 = x^2 - 2 \Rightarrow x^2 - 6x + 9 = 0 \Rightarrow x = 3$

$S_2 = \int_{-2}^3(x^2-2)dx-\{\int_{-2}^a f(x) dx +\int_{a}^3 g(x) dx\}$

$l_A \cap l_B$: $-4x - 6 = 6x - 11$ => $10x = 5$ => $x = \frac{1}{2}$

$y = -4(\frac{1}{2}) - 6 = -8$

$S_2 = \int_{-2}^{1/2} (x^2 - 2 - (-4x - 6)) dx + \int_{1/2}^3 (x^2 - 2 - (6x - 11)) dx$

$S_2 = \int_{-2}^{1/2} (x^2 + 4x + 4) dx + \int_{1/2}^3 (x^2 - 6x + 9) dx$

$S_2 = [\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x]_{-2}^{1/2} + [\frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x]_{1/2}^3$

$S_2 = (\frac{1}{24} + \frac{1}{2} + 2) - (-\frac{8}{3} + 8 - 8) + (9 - 27 + 27) - (\frac{1}{24} - \frac{3}{4} + \frac{9}{2})$

$S_2 = \frac{1 + 12 + 48}{24} + \frac{8}{3} + 9 - \frac{1 + 18 - 54}{24}$

$S_2 = \frac{61}{24} + \frac{64}{24} + 9 + \frac{35}{24} = \frac{160}{24} + 9 = \frac{20}{3} + 9 = \frac{47}{3} / 180/24 = 20/3+9=7.33+9 =16.33 = \frac{40 + 27 = 67}{6/3}=67

$S_2 = \frac{125}{6}$ より小さい．

$S_2 = 125/12$

(4)

$S = \frac{1}{8}S_1 -$

3. 最終的な答え

(1) $l_A: y = -4x - 6$、 $l_B: y = 6x - 11$

(2) $S_1 = \frac{125}{6}$

(3) $S_2 = \frac{125}{12}$

(4) $S = \frac{1}{2}S_1$

1: -4

2: -

3: 6

4: 6

5: 1

6: 1

7: 1

8: 2

9: 5

10: 6

11: 1

12: 2

13: 1/2*S1