$y = e^{\cos x}$ のマクローリン展開を2次の項まで求めよ。

1. 問題の内容

$y = e^{\cos x}$ のマクローリン展開を2次の項まで求めよ。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は $x=0$ のまわりのテイラー展開である。関数 $f(x)$ のマクローリン展開は次のように与えられる。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots$

今回の問題では、2次の項まで求めるので、上記の式で $x^2$ の項まで計算すればよい。

まず、$f(x) = e^{\cos x}$ と置く。

$f(0) = e^{\cos 0} = e^1 = e$

次に、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = e^{\cos x} (-\sin x) = -\sin x e^{\cos x}$

$f'(0) = -\sin 0 e^{\cos 0} = 0$

次に、$f''(x)$ を計算する。

$f''(x) = -\cos x e^{\cos x} - \sin x (-\sin x) e^{\cos x} = -\cos x e^{\cos x} + \sin^2 x e^{\cos x} = e^{\cos x} (\sin^2 x - \cos x)$

$f''(0) = e^{\cos 0} (\sin^2 0 - \cos 0) = e(0 - 1) = -e$

したがって、$e^{\cos x}$ のマクローリン展開の2次の項までは、

$f(x) \approx e + 0 \cdot x + \frac{-e}{2}x^2 = e - \frac{e}{2}x^2$

3. 最終的な答え

$e - \frac{e}{2}x^2$