次の4つの関数を微分します。対数は自然対数（底が $e$）であると仮定します。 (1) $y = \log\left(\frac{(x+1)^2}{(x-1)^3}\right)$ (2) $y = \log\left(\frac{(x+1)^2}{x(x-1)}\right)$ (3) $y = \log\left(x^4 \sqrt{x^3+1}\right)$ (4) $y = \log\left(\sqrt[3]{x^2+1}\sqrt{x^3}\right)$

はい、承知いたしました。微分する関数が4つありますね。一つずつ丁寧に解いていきましょう。

1. 問題の内容

次の4つの関数を微分します。対数は自然対数（底が $e$）であると仮定します。

(1) $y = \log\left(\frac{(x+1)^2}{(x-1)^3}\right)$

(2) $y = \log\left(\frac{(x+1)^2}{x(x-1)}\right)$

(3) $y = \log\left(x^4 \sqrt{x^3+1}\right)$

(4) $y = \log\left(\sqrt[3]{x^2+1}\sqrt{x^3}\right)$

2. 解き方の手順

対数の性質と合成関数の微分法（連鎖律）を使います。

(1) $y = \log\left(\frac{(x+1)^2}{(x-1)^3}\right)$

まず、対数の性質を使って式を簡単にします。

$y = \log((x+1)^2) - \log((x-1)^3) = 2\log(x+1) - 3\log(x-1)$

次に、微分します。$\frac{d}{dx} \log(x) = \frac{1}{x}$ と連鎖律を利用します。

$\frac{dy}{dx} = 2\frac{1}{x+1} - 3\frac{1}{x-1} = \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1)-3(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x-2-3x-3}{x^2-1} = \frac{-x-5}{x^2-1}$

(2) $y = \log\left(\frac{(x+1)^2}{x(x-1)}\right)$

対数の性質を使って式を簡単にします。

$y = \log((x+1)^2) - \log(x(x-1)) = 2\log(x+1) - \log(x) - \log(x-1)$

次に、微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x+1} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} = \frac{2x(x-1) - (x+1)(x-1) - x(x+1)}{x(x+1)(x-1)} = \frac{2x^2-2x - (x^2-1) - (x^2+x)}{x(x^2-1)} = \frac{2x^2 - 2x - x^2 + 1 - x^2 - x}{x(x^2-1)} = \frac{-3x+1}{x(x^2-1)} = \frac{1-3x}{x(x^2-1)}$

(3) $y = \log\left(x^4 \sqrt{x^3+1}\right)$

対数の性質を使って式を簡単にします。

$y = \log(x^4) + \log(\sqrt{x^3+1}) = 4\log(x) + \frac{1}{2}\log(x^3+1)$

次に、微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{4}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3x^2}{x^3+1} = \frac{4}{x} + \frac{3x^2}{2(x^3+1)} = \frac{8(x^3+1) + 3x^3}{2x(x^3+1)} = \frac{8x^3+8+3x^3}{2x(x^3+1)} = \frac{11x^3+8}{2x(x^3+1)}$

(4) $y = \log\left(\sqrt[3]{x^2+1}\sqrt{x^3}\right)$

対数の性質を使って式を簡単にします。

$y = \log(\sqrt[3]{x^2+1}) + \log(\sqrt{x^3}) = \frac{1}{3}\log(x^2+1) + \frac{1}{2}\log(x^3) = \frac{1}{3}\log(x^2+1) + \frac{3}{2}\log(x)$

次に、微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}\frac{2x}{x^2+1} + \frac{3}{2}\frac{1}{x} = \frac{2x}{3(x^2+1)} + \frac{3}{2x} = \frac{4x^2 + 9(x^2+1)}{6x(x^2+1)} = \frac{4x^2+9x^2+9}{6x(x^2+1)} = \frac{13x^2+9}{6x(x^2+1)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{-x-5}{x^2-1}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{1-3x}{x(x^2-1)}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{11x^3+8}{2x(x^3+1)}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{13x^2+9}{6x(x^2+1)}$