与えられた関数 $y = \log\left(\frac{(x+2)^3}{(2x+1)^2}\right)$ を微分する問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \log\left(\frac{(x+2)^3}{(2x+1)^2}\right)$ を微分する問題です。

2. 解き方の手順

対数の性質を利用して関数を整理し、その後、微分を行います。

まず、対数の性質を用いて関数を変形します。

$\log\left(\frac{A}{B}\right) = \log(A) - \log(B)$ の性質を利用すると、

$y = \log((x+2)^3) - \log((2x+1)^2)$

次に、$\log(A^n) = n\log(A)$ の性質を利用すると、

$y = 3\log(x+2) - 2\log(2x+1)$

ここで、$y$ を $x$ について微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(3\log(x+2) - 2\log(2x+1))$

$\frac{dy}{dx} = 3\frac{d}{dx}\log(x+2) - 2\frac{d}{dx}\log(2x+1)$

$\frac{d}{dx}\log(u) = \frac{1}{u}\frac{du}{dx}$ であるから、

$\frac{d}{dx}\log(x+2) = \frac{1}{x+2}\cdot\frac{d}{dx}(x+2) = \frac{1}{x+2}\cdot 1 = \frac{1}{x+2}$

$\frac{d}{dx}\log(2x+1) = \frac{1}{2x+1}\cdot\frac{d}{dx}(2x+1) = \frac{1}{2x+1}\cdot 2 = \frac{2}{2x+1}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 3\cdot\frac{1}{x+2} - 2\cdot\frac{2}{2x+1}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{x+2} - \frac{4}{2x+1}$

通分して整理すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{3(2x+1) - 4(x+2)}{(x+2)(2x+1)} = \frac{6x+3 - 4x - 8}{(x+2)(2x+1)} = \frac{2x - 5}{(x+2)(2x+1)}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x-5}{(x+2)(2x+1)}$