集合Mの部分集合A, B, Cについて、以下の(1)から(6)を示します。 (1) $A \subset B \implies A \cap C \subset B \cap C$ (2) $A \cap B = A \implies A \subset B$ (3) $A \subset B \iff A \cap B^c = \emptyset$ (4) $(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)$ (5) $B \subset A \implies B \setminus C \subset A \setminus C$ (6) $A \cap B = \emptyset \iff A \setminus B = A$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

集合Mの部分集合A, B, Cについて、以下の(1)から(6)を示します。

(1) $A \subset B \implies A \cap C \subset B \cap C$

(2) $A \cap B = A \implies A \subset B$

(3) $A \subset B \iff A \cap B^c = \emptyset$

(4) $(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)$

(5) $B \subset A \implies B \setminus C \subset A \setminus C$

(6) $A \cap B = \emptyset \iff A \setminus B = A$

2. 解き方の手順

(1)

$A \subset B$を仮定します。$x \in A \cap C$を任意にとると、$x \in A$かつ$x \in C$です。仮定より$x \in A$ならば$x \in B$なので、$x \in B$かつ$x \in C$となり、$x \in B \cap C$です。したがって、$A \cap C \subset B \cap C$が成り立ちます。

(2)

$A \cap B = A$を仮定します。$x \in A$を任意にとると、$A \cap B = A$より、$x \in A \cap B$なので、$x \in A$かつ$x \in B$です。特に$x \in B$であるので、$A \subset B$が成り立ちます。

(3)

($\implies$) $A \subset B$を仮定します。$x \in A \cap B^c$を任意にとると、$x \in A$かつ$x \in B^c$です。$x \in A$ならば$x \in B$なので、$x \notin B^c$となり矛盾します。したがって、$A \cap B^c = \emptyset$です。

($\impliedby$) $A \cap B^c = \emptyset$を仮定します。$x \in A$を任意にとると、$A \cap B^c = \emptyset$より、$x \notin A \cap B^c$なので、$x \notin B^c$です。したがって、$x \in B$となり、$A \subset B$が成り立ちます。

(4)

$x \in (A \cup B) \times C$を任意にとると、$x = (y, z)$かつ$y \in A \cup B$かつ$z \in C$です。$y \in A \cup B$より、$y \in A$または$y \in B$です。

$y \in A$のとき、$x = (y, z) \in A \times C$なので、$x \in (A \times C) \cup (B \times C)$です。

$y \in B$のとき、$x = (y, z) \in B \times C$なので、$x \in (A \times C) \cup (B \times C)$です。

したがって、$(A \cup B) \times C \subset (A \times C) \cup (B \times C)$です。

$x \in (A \times C) \cup (B \times C)$を任意にとると、$x \in A \times C$または$x \in B \times C$です。

$x \in A \times C$のとき、$x = (y, z)$かつ$y \in A$かつ$z \in C$です。$y \in A$ならば$y \in A \cup B$なので、$x = (y, z) \in (A \cup B) \times C$です。

$x \in B \times C$のとき、$x = (y, z)$かつ$y \in B$かつ$z \in C$です。$y \in B$ならば$y \in A \cup B$なので、$x = (y, z) \in (A \cup B) \times C$です。

したがって、$(A \times C) \cup (B \times C) \subset (A \cup B) \times C$です。

以上より、$(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)$が成り立ちます。

(5)

$B \subset A$を仮定します。$x \in B \setminus C$を任意にとると、$x \in B$かつ$x \notin C$です。$B \subset A$より、$x \in B$ならば$x \in A$なので、$x \in A$かつ$x \notin C$となり、$x \in A \setminus C$です。したがって、$B \setminus C \subset A \setminus C$が成り立ちます。

(6)

($\implies$) $A \cap B = \emptyset$を仮定します。$x \in A \setminus B$を任意にとると、$x \in A$かつ$x \notin B$です。$A \cap B = \emptyset$より、$A$と$B$に共通の要素はないので、$x \in A$ならば$x \notin B$が常に成り立ちます。したがって、$A \setminus B = A$です。

($\impliedby$) $A \setminus B = A$を仮定します。$x \in A \cap B$を任意にとると、$x \in A$かつ$x \in B$です。$x \in A$ならば$x \in A \setminus B$なので、$x \notin B$となり矛盾します。したがって、$A \cap B = \emptyset$です。

3. 最終的な答え

(1) $A \subset B \implies A \cap C \subset B \cap C$

(2) $A \cap B = A \implies A \subset B$

(3) $A \subset B \iff A \cap B^c = \emptyset$

(4) $(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)$

(5) $B \subset A \implies B \setminus C \subset A \setminus C$

(6) $A \cap B = \emptyset \iff A \setminus B = A$