48人の子供が2題のクイズを解いた。1番ができた子供は32人、2番ができた子供は26人であった。このとき、 * 1題もできなかった子供の人数 (ア) の最大値 * 2題ともできた子供の人数 (イ) の最小値 * 1番だけできた子供の人数 (ウ) の最小値、(エ) の最大値 * 2番だけできた子供の人数 (オ) の最大値 をそれぞれ求める問題。

1. 問題の内容

48人の子供が2題のクイズを解いた。1番ができた子供は32人、2番ができた子供は26人であった。このとき、

* 1題もできなかった子供の人数 (ア) の最大値

* 2題ともできた子供の人数 (イ) の最小値

* 1番だけできた子供の人数 (ウ) の最小値、(エ) の最大値

* 2番だけできた子供の人数 (オ) の最大値

をそれぞれ求める問題。

2. 解き方の手順

まず、集合の考え方を利用する。

* 全体集合を $U$ (48人)

* 1番ができた子供の集合を $A$ (32人)

* 2番ができた子供の集合を $B$ (26人)

とおく。

(ア) 1題もできなかった子供の人数

1題もできなかった子供の人数は、$A \cup B$ の補集合の要素数である。

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

$|A \cup B|$ が最大となるとき、$A \cap B = \emptyset$ である。

したがって、$|A \cup B| \le |A| + |B| = 32 + 26 = 58$

しかし、$|A \cup B|$ は $U$ の部分集合なので、$|A \cup B| \le 48$

したがって、1題でもできた子供の人数は最大で48人。

1題もできなかった子供の人数は、$48 - |A \cup B|$ であり、$|A \cup B|$ が最小のとき、最大となる。

$|A \cap B|$ が最大のとき、$|A \cup B|$ は最小になる。

$|A \cap B|$ の最大値は、min($|A|$, $|B|$) = min(32, 26) = 26

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 32 + 26 - 26 = 32$

1題もできなかった子供の人数は、$48 - 32 = 16$ 人以下である。ア = 16

(イ) 2題ともできた子供の人数

2題ともできた子供の人数は、$|A \cap B|$ である。

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

$|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|$

$|A \cup B|$ が最大のとき、$|A \cap B|$ は最小になる。$|A \cup B|$ は最大で48。

$|A \cap B| = 32 + 26 - 48 = 58 - 48 = 10$ 人以上いる。イ = 10

(ウ, エ) 1番だけできた子供の人数

1番だけできた子供の人数は、$|A \setminus B| = |A| - |A \cap B|$ である。

$|A \cap B|$ が最大のとき、$|A \setminus B|$ は最小になる。$|A \cap B|$ の最大値は26。

$|A \setminus B| = 32 - 26 = 6$

$|A \cap B|$ が最小のとき、$|A \setminus B|$ は最大になる。$|A \cap B|$ の最小値は10。

$|A \setminus B| = 32 - 10 = 22$

したがって、1番だけできた子供の人数は、6人以上22人以下である。ウ = 6, エ = 22

(オ) 2番だけできた子供の人数

2番だけできた子供の人数は、$|B \setminus A| = |B| - |A \cap B|$ である。

$|A \cap B|$ が最大のとき、$|B \setminus A|$ は最小になる。$|A \cap B|$ の最大値は26。

$|B \setminus A| = 26 - 26 = 0$

$|A \cap B|$ が最小のとき、$|B \setminus A|$ は最大になる。$|A \cap B|$ の最小値は10。

$|B \setminus A| = 26 - 10 = 16$

したがって、2番だけできた子供の人数は、0人以上16人以下である。オ = 16

3. 最終的な答え

* ア: 16

* イ: 10

* ウ: 6

* エ: 22

* オ: 16