7つの座席が横一列に並んでおり、A, B, C, D, E, F, G の7人が座る。 (1) AとBが隣り合う座り方は何通りあるか。 (2) AとBが隣り合わない座り方は何通りあるか。 (3) A, B, C のどの2人も隣り合わない座り方は何通りあるか。 (4) AとBが隣り合い、CとDが隣り合わない座り方は何通りあるか。

1. 問題の内容

7つの座席が横一列に並んでおり、A, B, C, D, E, F, G の7人が座る。

(1) AとBが隣り合う座り方は何通りあるか。

(2) AとBが隣り合わない座り方は何通りあるか。

(3) A, B, C のどの2人も隣り合わない座り方は何通りあるか。

(4) AとBが隣り合い、CとDが隣り合わない座り方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) AとBが隣り合う場合：

AとBを1つの組として考える。この組とC, D, E, F, Gの5人を並べるので、合計6個の並べ方を考える。

組の中でのAとBの並び方は2通り。

残りの5人の並び方は5!通り。

したがって、座り方は $2 \times 6! = 2 \times 720 = 1440$通り。

(2) AとBが隣り合わない場合：

全体の座り方から、AとBが隣り合う座り方を引く。

全体の座り方は7!通り。

したがって、座り方は $7! - 1440 = 5040 - 1440 = 3600$通り。

(3) A, B, Cのどの2人も隣り合わない場合：

まず、D, E, F, Gの4人を並べる。並べ方は4!通り。

次に、4人の間にできる隙間（5箇所）から3箇所を選び、A, B, Cを座らせる。

隙間の選び方は ${}_5 P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$通り。

したがって、座り方は $4! \times {}_5 P_3 = 24 \times 60 = 1440$通り。

(4) AとBが隣り合い、CとDが隣り合わない場合：

AとBが隣り合う座り方は1440通り (1)で計算済み。

この中から、AとBが隣り合い、CとDも隣り合う座り方を引く。

AとBを1つの組、CとDを1つの組として考えると、この2つの組とE, F, Gの3人の合計5つの要素を並べる。並べ方は5!通り。

AとBの組の中でAとBの並び方は2通り。同様にCとDの組の中でCとDの並び方は2通り。

したがって、AとBが隣り合い、CとDも隣り合う座り方は $2 \times 2 \times 5! = 4 \times 120 = 480$通り。

よって、AとBが隣り合い、CとDが隣り合わない座り方は $1440 - 480 = 960$通り。

3. 最終的な答え

(1) 1440通り

(2) 3600通り

(3) 1440通り

(4) 960通り