右図のような道路がある地域において、以下の３つの条件を満たす最短経路の数を求める問題です。 (1) A地点からB地点までの最短経路の数。 (2) A地点からC地点を経由してB地点までの最短経路の数。 (3) A地点からC地点を経由せずにB地点までの最短経路の数。

1. 問題の内容

右図のような道路がある地域において、以下の３つの条件を満たす最短経路の数を求める問題です。

(1) A地点からB地点までの最短経路の数。

(2) A地点からC地点を経由してB地点までの最短経路の数。

(3) A地点からC地点を経由せずにB地点までの最短経路の数。

2. 解き方の手順

(1) AからBまでの最短経路数

AからBまでの最短経路は、右に5回、上に2回移動する必要があります。したがって、全部で7回の移動のうち、どちらを右に移動するかを選ぶ組み合わせを考えます。

これは、7回のうち5回を右に移動することを選ぶ組み合わせ、つまり $_7 C_5$ で求められます。

$_7 C_5 = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

(2) AからCを通ってBまでの最短経路数

AからCまでの最短経路は、右に2回、上に1回移動する必要があります。これは $_3 C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$ 通りあります。

CからBまでの最短経路は、右に3回、上に1回移動する必要があります。これは $_4 C_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$ 通りあります。

したがって、AからCを通ってBまでの最短経路は $3 \times 4 = 12$ 通りです。

(3) AからCを通らずにBまでの最短経路数

AからBまでの最短経路数から、AからCを通ってBまでの最短経路数を引けば、AからCを通らずにBまでの最短経路数が求められます。

$21 - 12 = 9$

3. 最終的な答え

(1) AからBまでの最短経路数：21通り

(2) AからCを通ってBまでの最短経路数：12通り

(3) AからCを通らずにBまでの最短経路数：9通り