0000から9999までの番号について、以下の3つの条件を満たす番号の個数をそれぞれ求めます。 (1) 同じ数字をちょうど3個含むもの。 (2) 同じ数字をちょうど2個ずつ含むもの。 (3) 異なる数字が昇順に並んでいるもの。

1. 問題の内容

0000から9999までの番号について、以下の3つの条件を満たす番号の個数をそれぞれ求めます。

(1) 同じ数字をちょうど3個含むもの。

(2) 同じ数字をちょうど2個ずつ含むもの。

(3) 異なる数字が昇順に並んでいるもの。

2. 解き方の手順

(1) 同じ数字をちょうど3個含むもの

まず、どの数字を3つ使うかを選びます。これは0から9までの10通りあります。

次に、残りの1つの数字を選びます。これは0から9までのうち、既に選んだ数字以外なので9通りあります。

3つの同じ数字と1つの異なる数字の並べ方を考えます。これは4つの場所から異なる数字の場所を選ぶことに相当するので、${}_4C_1 = 4$通りです。

したがって、同じ数字をちょうど3個含む番号の個数は、$10 \times 9 \times 4 = 360$個です。

(2) 同じ数字をちょうど2個ずつ含むもの

まず、2つずつ使う数字を2種類選びます。これは0から9までの10個の数字から2つを選ぶので、${}_{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45$通りあります。

次に、選んだ2つの数字を並べます。これは、例えば選んだ数字がaとbの場合、aabb, abab, abba, baab, baba, bbaaの6通りがあります。これは、$\frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6$通りです。

したがって、同じ数字をちょうど2個ずつ含む番号の個数は、$45 \times 6 = 270$個です。

(3) 異なる数字が昇順に並んでいるもの

まず、0から9までの10個の数字から4つの数字を選びます。これは${}_{10}C_4$通りです。

選んだ4つの数字を小さい順に並べれば、条件を満たす番号が1つ決まります。

${}_{10}C_4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

したがって、異なる数字が昇順に並んでいる番号の個数は、$210$個です。

3. 最終的な答え

(1) 同じ数字をちょうど3個含むもの: 360個

(2) 同じ数字をちょうど2個ずつ含むもの: 270個

(3) 異なる数字が昇順に並んでいるもの: 210個