集合Mの部分集合A, B, Cについて、以下の関係が成り立つことを示します。 (1) $A \subset B \Rightarrow A \cap C \subset B \cap C$ (2) $A \cap B = A \Rightarrow A \subset B$ (3) $A \subset B \Leftrightarrow A \cap B^c = \emptyset$ (4) $(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)$ (5) $B \subset A \Rightarrow B \setminus C \subset A \setminus C$ (6) $A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow A \setminus B = A$

はい、承知いたしました。画像に書かれた集合に関する問題を解きます。

1. 問題の内容

集合Mの部分集合A, B, Cについて、以下の関係が成り立つことを示します。

(1) $A \subset B \Rightarrow A \cap C \subset B \cap C$

(2) $A \cap B = A \Rightarrow A \subset B$

(3) $A \subset B \Leftrightarrow A \cap B^c = \emptyset$

(4) $(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)$

(5) $B \subset A \Rightarrow B \setminus C \subset A \setminus C$

(6) $A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow A \setminus B = A$

2. 解き方の手順

(1) $A \subset B \Rightarrow A \cap C \subset B \cap C$

$A \subset B$を仮定する。

$x \in A \cap C$を任意に取る。

すると、$x \in A$かつ$x \in C$である。

$A \subset B$より、$x \in B$である。

したがって、$x \in B$かつ$x \in C$なので、$x \in B \cap C$である。

よって、$A \cap C \subset B \cap C$が成り立つ。

(2) $A \cap B = A \Rightarrow A \subset B$

$A \cap B = A$を仮定する。

$x \in A$を任意に取る。

すると、$x \in A \cap B$である。

したがって、$x \in A$かつ$x \in B$なので、$x \in B$である。

よって、$A \subset B$が成り立つ。

(3) $A \subset B \Leftrightarrow A \cap B^c = \emptyset$

$(\Rightarrow)$ $A \subset B \Rightarrow A \cap B^c = \emptyset$

$A \subset B$を仮定する。

もし、$A \cap B^c \neq \emptyset$とすると、$x \in A \cap B^c$なる$x$が存在する。

このとき、$x \in A$かつ$x \in B^c$である。

$x \in A$かつ$A \subset B$より、$x \in B$となる。

これは、$x \in B^c$と矛盾する。

したがって、$A \cap B^c = \emptyset$である。

$(\Leftarrow)$ $A \cap B^c = \emptyset \Rightarrow A \subset B$

$A \cap B^c = \emptyset$を仮定する。

$x \in A$を任意に取る。

もし、$x \notin B$とすると、$x \in B^c$である。

このとき、$x \in A \cap B^c$となる。

これは、$A \cap B^c = \emptyset$と矛盾する。

したがって、$x \in B$である。

よって、$A \subset B$が成り立つ。

(4) $(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)$

$(x, y) \in (A \cup B) \times C$を任意に取る。

すると、$x \in A \cup B$かつ$y \in C$である。

$x \in A$または$x \in B$である。

(i) $x \in A$のとき、$x \in A$かつ$y \in C$なので、$(x, y) \in A \times C$である。

したがって、$(x, y) \in (A \times C) \cup (B \times C)$である。

(ii) $x \in B$のとき、$x \in B$かつ$y \in C$なので、$(x, y) \in B \times C$である。

したがって、$(x, y) \in (A \times C) \cup (B \times C)$である。

よって、$(A \cup B) \times C \subset (A \times C) \cup (B \times C)$である。

$(x, y) \in (A \times C) \cup (B \times C)$を任意に取る。

すると、$(x, y) \in A \times C$または$(x, y) \in B \times C$である。

(i) $(x, y) \in A \times C$のとき、$x \in A$かつ$y \in C$である。

したがって、$x \in A \cup B$かつ$y \in C$なので、$(x, y) \in (A \cup B) \times C$である。

(ii) $(x, y) \in B \times C$のとき、$x \in B$かつ$y \in C$である。

したがって、$x \in A \cup B$かつ$y \in C$なので、$(x, y) \in (A \cup B) \times C$である。

よって、$(A \times C) \cup (B \times C) \subset (A \cup B) \times C$である。

したがって、$(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)$である。

(5) $B \subset A \Rightarrow B \setminus C \subset A \setminus C$

$B \subset A$を仮定する。

$x \in B \setminus C$を任意に取る。

すると、$x \in B$かつ$x \notin C$である。

$B \subset A$より、$x \in A$である。

したがって、$x \in A$かつ$x \notin C$なので、$x \in A \setminus C$である。

よって、$B \setminus C \subset A \setminus C$が成り立つ。

(6) $A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow A \setminus B = A$

$(\Rightarrow)$ $A \cap B = \emptyset \Rightarrow A \setminus B = A$

$A \cap B = \emptyset$を仮定する。

$x \in A \setminus B$を任意に取る。

すると、$x \in A$かつ$x \notin B$である。

したがって、$x \in A$である。

よって、$A \setminus B \subset A$である。

$x \in A$を任意に取る。

$A \cap B = \emptyset$なので、$x \notin B$である。

したがって、$x \in A$かつ$x \notin B$なので、$x \in A \setminus B$である。

よって、$A \subset A \setminus B$である。

したがって、$A \setminus B = A$である。

$(\Leftarrow)$ $A \setminus B = A \Rightarrow A \cap B = \emptyset$

$A \setminus B = A$を仮定する。

$x \in A \cap B$を任意に取る。

すると、$x \in A$かつ$x \in B$である。

$A \setminus B = A$なので、$x \in A \setminus B$である。

すると、$x \in A$かつ$x \notin B$である。

これは、$x \in B$と矛盾する。

したがって、$A \cap B = \emptyset$である。

3. 最終的な答え

(1) $A \subset B \Rightarrow A \cap C \subset B \cap C$ が成り立つ。

(2) $A \cap B = A \Rightarrow A \subset B$ が成り立つ。

(3) $A \subset B \Leftrightarrow A \cap B^c = \emptyset$ が成り立つ。

(4) $(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)$ が成り立つ。

(5) $B \subset A \Rightarrow B \setminus C \subset A \setminus C$ が成り立つ。

(6) $A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow A \setminus B = A$ が成り立つ。