与えられた集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12\}$ に対して、約数関係によって順序が入っている。この順序集合 $A$ のハッセ図が与えられている。以下の問いに答える。 (1) $A$ の最大元をすべて答えよ。 (2) $A$ の極大元をすべて答えよ。 (3) $S = \{4, 6\}$ の下界をすべて答えよ。 (4) $S = \{8, 6\}$ の下限を答えよ。 (5) $A$ は束かどうか判定せよ。

1. 問題の内容

与えられた集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12\}$ に対して、約数関係によって順序が入っている。この順序集合 $A$ のハッセ図が与えられている。以下の問いに答える。

(1) $A$ の最大元をすべて答えよ。

(2) $A$ の極大元をすべて答えよ。

(3) $S = \{4, 6\}$ の下界をすべて答えよ。

(4) $S = \{8, 6\}$ の下限を答えよ。

(5) $A$ は束かどうか判定せよ。

2. 解き方の手順

(1) 最大元：$A$ のすべての要素よりも大きい要素を最大元という。ハッセ図で一番上に位置する要素を探す。

(2) 極大元：$A$ の要素で、それよりも大きい要素が存在しないものを極大元という。ハッセ図で一番上に位置する要素を探す。

(3) 下界：集合 $S$ のすべての要素以下である要素を下界という。ハッセ図で $S$ の各要素から下にたどって到達できる要素を探す。

(4) 下限：集合 $S$ の下界の中で最大のものを下限という。つまり、下界であり、かつ他の下界より大きいものを探す。

(5) 束：任意の2つの要素に対して、上限（最小上界）と下限（最大下界）が存在する順序集合を束という。$A$ の任意の2要素について、上限と下限が存在するか確認する。

3. 最終的な答え

(1) 最大元：12

(2) 極大元：8, 12

(3) $S = \{4, 6\}$ の下界：1, 2

(4) $S = \{8, 6\}$ の下限：2

(5) $A$ は束かどうか：束である。

理由: $A$ の任意の2つの要素 $x$ と $y$ を取ると、それらの上限と下限が常に $A$ の中に存在する。

例えば、

- 4と6の上限は12, 下限は2

- 8と6の上限は12, 下限は2

- 4と8の上限は8, 下限は4

他の組み合わせでも同様に確認できる。