$x = \frac{\sqrt{5}-3}{2}$とする。 (1) $\frac{1}{x}$の値を求め、分母を有理化し簡単にせよ。また、$x-\frac{1}{x}$の値を求めよ。 (2) $x^2+\frac{1}{x^2}$の値を求めよ。 (3) $x^5 - x^3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^3}$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{5}-3}{2}$とする。

(1) $\frac{1}{x}$の値を求め、分母を有理化し簡単にせよ。また、$x-\frac{1}{x}$の値を求めよ。

(2) $x^2+\frac{1}{x^2}$の値を求めよ。

(3) $x^5 - x^3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^3}$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{x}$ を求める。

$\frac{1}{x} = \frac{2}{\sqrt{5}-3} = \frac{2(\sqrt{5}+3)}{(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}+3)} = \frac{2(\sqrt{5}+3)}{5-9} = \frac{2(\sqrt{5}+3)}{-4} = \frac{\sqrt{5}+3}{-2} = -\frac{\sqrt{5}+3}{2}$

次に、$x - \frac{1}{x}$を求める。

$x - \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5}-3}{2} - (-\frac{\sqrt{5}+3}{2}) = \frac{\sqrt{5}-3}{2} + \frac{\sqrt{5}+3}{2} = \frac{\sqrt{5}-3+\sqrt{5}+3}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

(2) $x^2+\frac{1}{x^2}$ を求める。

$(x-\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

$x^2+\frac{1}{x^2} = (x-\frac{1}{x})^2 + 2$

(1)の結果より、$x-\frac{1}{x} = \sqrt{5}$なので、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (\sqrt{5})^2 + 2 = 5+2 = 7$

(3) $x^5 - x^3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^3}$を求める。

$x^5 - x^3 + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x} = x^5 - x^3 + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x}$

$= x^5 - x^3 + x^{-3} + x^{-1}$

$= x^5 + \frac{1}{x} - x^3 - \frac{1}{x^3}$

$x = \frac{\sqrt{5}-3}{2}, \frac{1}{x} = -\frac{\sqrt{5}+3}{2}$

まず、$x + \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5}-3}{2} - \frac{\sqrt{5}+3}{2} = \frac{\sqrt{5}-3-\sqrt{5}-3}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

次に、$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})^2 - 2 = (-3)^2 - 2 = 9-2 = 7$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x+\frac{1}{x})^3 - 3(x+\frac{1}{x}) = (-3)^3 - 3(-3) = -27 + 9 = -18$

$x^5 - (x^3 - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}) = x^5 - (x^3 + \frac{1}{x^3})$

$x^5 = (x^2)^2 \cdot x$

$x^5 - x^3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} = x^5 - x^3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^3}$

$x^5 + \frac{1}{x} = \left(\frac{\sqrt{5}-3}{2}\right)^5 + \frac{2}{\sqrt{5}-3}$

$x = \frac{\sqrt{5}-3}{2}$のとき、$\frac{1}{x} = \frac{2}{\sqrt{5}-3}$

わからない。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{x} = -\frac{\sqrt{5}+3}{2}$, $x-\frac{1}{x} = \sqrt{5}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$

(3) 不明