与えられた等式 $x = \sqrt{y^2 + 169}$ を満たす自然数 $x, y$ の組を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $x = \sqrt{y^2 + 169}$ を満たす自然数 $x, y$ の組を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式を2乗して、根号を外します。

$x^2 = y^2 + 169$

次に、$y^2$を左辺に移項して、因数分解できる形にします。

$x^2 - y^2 = 169$

左辺を因数分解します。

$(x + y)(x - y) = 169$

ここで、$x$と$y$は自然数なので、$x + y > 0$であり、$x > y$なので、$x - y > 0$です。

$169 = 13^2$ であるので、169の約数は1, 13, 169です。したがって、$x+y$と$x-y$の組み合わせは以下のようになります。

(i) $x + y = 169$, $x - y = 1$

(ii) $x + y = 13$, $x - y = 13$

(i)の場合、2つの式を足し合わせると$2x = 170$となり、$x = 85$を得ます。$x + y = 169$に$x = 85$を代入すると、$85 + y = 169$より、$y = 84$を得ます。

(ii)の場合、2つの式を足し合わせると$2x = 26$となり、$x = 13$を得ます。$x + y = 13$に$x = 13$を代入すると、$13 + y = 13$より、$y = 0$を得ます。しかし、$y$は自然数なので、この解は不適です。

したがって、条件を満たす自然数の組は $(x, y) = (85, 84)$ のみです。

3. 最終的な答え

(x, y) = (85, 84)