集合 $M$ の部分集合 $A, B, C$ について、以下の命題を示せ。 (1) $A \subset B \implies A \cap C \subset B \cap C$ (2) $A \cap B = A \implies A \subset B$ (3) $A \subset B \iff A \cap B^c = \emptyset$ (4) $(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)$ (5) $B \subset A \implies B \setminus C \subset A \setminus C$ (6) $A \cap B = \emptyset \implies A \setminus B = A$

1. 問題の内容

集合 $M$ の部分集合 $A, B, C$ について、以下の命題を示せ。

(1) $A \subset B \implies A \cap C \subset B \cap C$

(2) $A \cap B = A \implies A \subset B$

(3) $A \subset B \iff A \cap B^c = \emptyset$

(4) $(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)$

(5) $B \subset A \implies B \setminus C \subset A \setminus C$

(6) $A \cap B = \emptyset \implies A \setminus B = A$

2. 解き方の手順

(1) $A \subset B$ を仮定する。$x \in A \cap C$ を任意にとると、$x \in A$ かつ $x \in C$ である。$A \subset B$ より、$x \in B$ である。よって、$x \in B$ かつ $x \in C$ なので、$x \in B \cap C$ である。したがって、$A \cap C \subset B \cap C$ が成り立つ。

(2) $A \cap B = A$ を仮定する。$x \in A$ を任意にとると、$A \cap B = A$ より、$x \in A \cap B$ である。よって、$x \in A$ かつ $x \in B$ である。したがって、$x \in B$ であるので、$A \subset B$ が成り立つ。

(3) $A \subset B$ を仮定する。$A \cap B^c$ が空集合でないと仮定すると、$x \in A \cap B^c$ なる $x$ が存在する。このとき、$x \in A$ かつ $x \in B^c$ である。$A \subset B$ より、$x \in B$ であるが、$x \in B^c$ であることと矛盾する。したがって、$A \cap B^c = \emptyset$ である。

次に、$A \cap B^c = \emptyset$ を仮定する。$x \in A$ を任意にとる。$x \in A$ かつ $A \cap B^c = \emptyset$ より、$x \notin B^c$ でなければならない。したがって、$x \in B$ である。よって、$A \subset B$ が成り立つ。

(4) $x \in (A \cup B) \times C$ とする。これは $(x_1, x_2) \in (A \cup B) \times C$ のように書けることを意味する。このとき、$x_1 \in (A \cup B)$ かつ $x_2 \in C$ である。$x_1 \in A$ または $x_1 \in B$ が成り立つ。

もし $x_1 \in A$ ならば、$(x_1, x_2) \in A \times C$ となり、 $(x_1, x_2) \in (A \times C) \cup (B \times C)$ が成り立つ。

もし $x_1 \in B$ ならば、$(x_1, x_2) \in B \times C$ となり、 $(x_1, x_2) \in (A \times C) \cup (B \times C)$ が成り立つ。

したがって、$(A \cup B) \times C \subset (A \times C) \cup (B \times C)$ が成り立つ。

次に、$x \in (A \times C) \cup (B \times C)$ とする。このとき、$x \in A \times C$ または $x \in B \times C$ が成り立つ。

もし $x \in A \times C$ なら、$x = (x_1, x_2)$ であり、$x_1 \in A$ かつ $x_2 \in C$ である。このとき、$x_1 \in A \cup B$ が成り立つため、$(x_1, x_2) \in (A \cup B) \times C$ が成り立つ。

もし $x \in B \times C$ なら、$x = (x_1, x_2)$ であり、$x_1 \in B$ かつ $x_2 \in C$ である。このとき、$x_1 \in A \cup B$ が成り立つため、$(x_1, x_2) \in (A \cup B) \times C$ が成り立つ。

したがって、$(A \times C) \cup (B \times C) \subset (A \cup B) \times C$ が成り立つ。

以上より、$(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)$ が成り立つ。

(5) $B \subset A$ を仮定する。$x \in B \setminus C$ を任意にとると、$x \in B$ かつ $x \notin C$ である。$B \subset A$ より、$x \in A$ である。よって、$x \in A$ かつ $x \notin C$ なので、$x \in A \setminus C$ である。したがって、$B \setminus C \subset A \setminus C$ が成り立つ。

(6) $A \cap B = \emptyset$ を仮定する。$x \in A \setminus B$ を任意にとると、$x \in A$ かつ $x \notin B$ である。$x \in A$ を任意にとると、$A \cap B = \emptyset$ より、$x \notin B$ である。したがって、$x \in A \setminus B$ である。よって、$A \subset A \setminus B$ が成り立つ。

$x \in A \setminus B$ ならば、$x \in A$ である。したがって、$A \setminus B \subset A$ が成り立つ。

以上より、$A \setminus B = A$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $A \subset B \implies A \cap C \subset B \cap C$

(2) $A \cap B = A \implies A \subset B$

(3) $A \subset B \iff A \cap B^c = \emptyset$

(4) $(A \cup B) \times C = (A \times C) \cup (B \times C)$

(5) $B \subset A \implies B \setminus C \subset A \setminus C$

(6) $A \cap B = \emptyset \implies A \setminus B = A$