A, B, C, Dの4つの文字を1列に並べる。並べ方をアルファベット順の辞書式に配列するとき、以下の問いに答える。 (1) BCADは何番目か。 (2) 15番目の文字列は何か。

1. 問題の内容

A, B, C, Dの4つの文字を1列に並べる。並べ方をアルファベット順の辞書式に配列するとき、以下の問いに答える。

(1) BCADは何番目か。

(2) 15番目の文字列は何か。

2. 解き方の手順

(1) BCADが何番目かを求める。

まず、Aから始まる文字列の数を求める。Aから始まる文字列は、残りの3つの文字(B, C, D)の順列なので、$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$個存在する。

次に、Bから始まる文字列で、BCADより前のものを数える。Bから始まる文字列は、BA**, BC**, BD**の順に並ぶ。BCADの前にBA**となる文字列の数を考える。BA**となる文字列は、残りの2つの文字(C, D)の順列なので、$2! = 2 \times 1 = 2$個存在する。

Bから始まる文字列で、BCADより前のものはBACDとBADCの2つ。

BCADはBから始まる文字列の中で3番目なので、Aから始まる文字列の数とBAから始まる文字列の数を足して、BCADが何番目かを計算する。$6 + 2 + 1 = 9$ 番目。

(2) 15番目の文字列を求める。

まず、Aから始まる文字列は6個ある。

次に、Bから始まる文字列も6個ある。AとBから始まる文字列の合計は12個なので、15番目の文字列はCから始まる。

Cから始まる文字列のうち、3番目の文字列が15番目の文字列になる。

CA**, CB**, CC**, CD**の順に並ぶため、CAから始まる文字列は$2! = 2$個である。

CBから始まる文字列も$2! = 2$個である。

よって、CAから始まる文字列が13, 14番目なので、15番目はCBから始まる文字列になる。

CBADとCBDAのうち、アルファベット順で最初の文字列はCBADである。

CBADがCから始まる文字列の中で3番目に小さいものであり、15番目の文字列である。

3. 最終的な答え

(1) 9番目

(2) CBAD