与えられた数列の階差数列を利用して、一般項 $a_n$ を求める問題です。ここでは、(3)と(4)の数列の一般項を求めます。

1. 問題の内容

与えられた数列の階差数列を利用して、一般項 $a_n$ を求める問題です。ここでは、(3)と(4)の数列の一般項を求めます。

2. 解き方の手順

(3) 数列 $1, 2, 6, 15, 31, \dots$ の階差数列を求める。

階差数列は $1, 4, 9, 16, \dots$ となり、$n^2$ であることがわかる。

よって、$n \geq 2$ のとき、元の数列の一般項は

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2$

$a_1 = 1$ なので、

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2 = 1 + \frac{1}{6}(n-1)n(2n-1) = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 6}{6}$

$n=1$のとき、$a_1 = \frac{2-3+1+6}{6} = 1$となり、$a_1 = 1$なので、$n \geq 1$で成り立つ。

よって、$a_n = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 6}{6}$

(4) 数列 $1, 2, 5, 14, 41, \dots$ の階差数列を求める。

階差数列は $1, 3, 9, 27, \dots$ となり、$3^{n-1}$ であることがわかる。

よって、$n \geq 2$ のとき、元の数列の一般項は

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1}$

$a_1 = 1$ なので、

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k-1} = 1 + \sum_{k=0}^{n-2} 3^k = 1 + \frac{1-3^{n-1}}{1-3} = 1 + \frac{3^{n-1}-1}{2} = \frac{3^{n-1}+1}{2}$

$n=1$のとき、$a_1 = \frac{3^0+1}{2} = 1$となり、$a_1 = 1$なので、$n \geq 1$で成り立つ。

よって、$a_n = \frac{3^{n-1}+1}{2}$

3. 最終的な答え

(3) $a_n = \frac{2n^3 - 3n^2 + n + 6}{6}$

(4) $a_n = \frac{3^{n-1}+1}{2}$