命題「$x+y=0 \Rightarrow x \le 0$ または $y \le 0$」の裏にあたる命題と、その真偽を、選択肢の中から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

命題「$x+y=0 \Rightarrow x \le 0$ または $y \le 0$」の裏にあたる命題と、その真偽を、選択肢の中から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、元の命題の裏を考えます。

元の命題が「$p \Rightarrow q$」の形をしているとき、その裏は「$\neg q \Rightarrow \neg p$」となります。

この問題の場合、$p$は「$x+y=0$」、そして$q$は「$x \le 0$ または $y \le 0$」です。

したがって、$\neg p$は「$x+y \neq 0$」となり、$\neg q$は「$x > 0$ かつ $y > 0$」となります。

よって、元の命題の裏は「$x > 0$ かつ $y > 0 \Rightarrow x+y \neq 0$」となります。

選択肢を検討します。

選択肢１は、「$x+y \neq 0 \Rightarrow x > 0$ かつ $y > 0$」で、これは偽です。なぜなら、$x=1$, $y=-2$のとき、$x+y = -1 \neq 0$ですが、$y = -2 < 0$だからです。

選択肢２は、「$x \le 0$ または $y \le 0 \Rightarrow x+y=0$」で、これは真です。

選択肢３は、「$x+y \neq 0 \Rightarrow x > 0$ かつ $y > 0$」で、これは偽です。

（選択肢1と同じ命題）

選択肢４は、「$x \le 0$ または $y \le 0 \Rightarrow x+y=0$」で、これは偽です。

正しい裏の命題は、$x > 0$ かつ $y > 0 \Rightarrow x+y \neq 0$　です。

これは真です。なぜなら、$x > 0$かつ$y > 0$ならば、$x+y > 0$なので、$x+y \neq 0$と言えるからです。

問題文の中に正しい裏の命題はありません。問題が間違っているようです。

ただし、選択肢１がもっとも近い形の命題です。

3. 最終的な答え

選択肢１が近いですが、命題と真偽が一致しません。

問題文に正しい解答がないと考えます。

（本来あるべき正しい解答は「$x>0$ かつ $y>0 \Rightarrow x+y \neq 0$」で、これは真）