$x = 1 - \sqrt{5}$ のとき、以下の式の値を求めます。 (1) $x^2 - 2x - 4$ (2) $x^3 - 2x^2$

1. 問題の内容

$x = 1 - \sqrt{5}$ のとき、以下の式の値を求めます。

(1) $x^2 - 2x - 4$

(2) $x^3 - 2x^2$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 2x - 4$ の場合：

$x = 1 - \sqrt{5}$ を直接代入して計算します。

$x^2 = (1 - \sqrt{5})^2 = 1 - 2\sqrt{5} + 5 = 6 - 2\sqrt{5}$

$-2x = -2(1 - \sqrt{5}) = -2 + 2\sqrt{5}$

したがって、

$x^2 - 2x - 4 = (6 - 2\sqrt{5}) + (-2 + 2\sqrt{5}) - 4 = 6 - 2 - 4 - 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 0$

(2) $x^3 - 2x^2$ の場合：

$x^3 - 2x^2 = x^2(x - 2)$

$x = 1 - \sqrt{5}$ より、

$x - 2 = 1 - \sqrt{5} - 2 = -1 - \sqrt{5}$

$x^2 = (1 - \sqrt{5})^2 = 1 - 2\sqrt{5} + 5 = 6 - 2\sqrt{5}$

したがって、

$x^3 - 2x^2 = (6 - 2\sqrt{5})(-1 - \sqrt{5}) = -6 - 6\sqrt{5} + 2\sqrt{5} + 10 = 4 - 4\sqrt{5}$

別解として、$x=1-\sqrt{5}$を変形すると $x-1 = -\sqrt{5}$となり，両辺を2乗すると，

$(x-1)^2 = (-\sqrt{5})^2$

$x^2-2x+1 = 5$

$x^2-2x-4 = 0$

これを用いると，(1)は$x^2-2x-4=0$

(2)は$x^3-2x^2 = x(x^2-2x) = x(4) = 4x = 4(1-\sqrt{5}) = 4-4\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $4 - 4\sqrt{5}$