三角形ABCにおいて、AB = 4, BC = 5, CA = 6である。角BACの二等分線と辺BCとの交点をDとする。また、角BACの外角の二等分線と辺BCの延長との交点をEとする。このとき、線分BEと線分DEの長さを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB = 4, BC = 5, CA = 6である。角BACの二等分線と辺BCとの交点をDとする。また、角BACの外角の二等分線と辺BCの延長との交点をEとする。このとき、線分BEと線分DEの長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、角の二等分線の性質を利用して、BDの長さを求めます。

角BACの二等分線が辺BCと交わる点をDとすると、

$BD : DC = AB : AC$

$BD : DC = 4 : 6 = 2 : 3$

$BD = \frac{2}{2+3} BC = \frac{2}{5} \times 5 = 2$

次に、角BACの外角の二等分線が辺BCの延長と交わる点をEとすると、

$BE : CE = AB : AC$

$BE : CE = 4 : 6 = 2 : 3$

$CE = BE - BC = BE - 5$

$BE : (BE - 5) = 2 : 3$

$3BE = 2(BE - 5)$

$3BE = 2BE - 10$

$BE = 10$

最後に、DEの長さを求めます。

$DE = BE - BD = 10 - 2 = 8$

3. 最終的な答え

BE = 10

DE = 8