1. 問題の内容
図に示す三角形において、外心と内心に関する角度xとyの値を求める問題です。
2. 解き方の手順
**(1) 点Oは△ABCの外心の場合**
外心の性質として、外心から各頂点までの距離は等しいので、OA = OB = OC です。
まず、∠BACと∠ABCを求めます。
∠BAC = y + 34°
∠ABC = 23° + x
次に、△OABに着目すると、OA = OB より、△OABは二等辺三角形なので、
∠OAB = ∠OBA = 23°
したがって、y = ∠BAC - 34° がわかります。
同様に、△OACに着目すると、OA = OC より、△OACは二等辺三角形なので、
∠OAC = ∠OCA = 34°
したがって、x = ∠ABC - 23° がわかります。
三角形の内角の和は180°なので、
∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°
(y + 34°) + (23° + x) + (x + y) = 180°
2x + 2y + 57° = 180°
2x + 2y = 123°
x + y = 61.5°
△OBCに着目すると、OB = OCより、△OBCは二等辺三角形。
∠OBC = ∠OCB = x
また、∠A = y + 34 = 34 + 34 = 68度。
∠B = 23 + x = 23 + 23 = 46度。
∠C = x + y = 34 + 23 = 57度。
ここで、角x, yについて
∠OBA = ∠OAB = 23度。
∠OCA = ∠OAC = 34度。
∠OBC = ∠OCB = x度。
したがって、x = 34°、y = 23°となります。
**(2) 点Iは△ABCの内心の場合**
内心は角の二等分線の交点であるため、
∠ABI = ∠CBI = 26°
したがって、∠ABC = 26° * 2 = 52°
三角形の内角の和は180°なので、
∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°
80° + 52° + ∠BCA = 180°
∠BCA = 48°
∠BCI = ∠ACI = 48° / 2 = 24°
したがって、x = 24°
点Iは内心なので、AIは∠BACの二等分線であり、BIは∠ABCの二等分線、CIは∠BCAの二等分線である。
三角形の内角の和より、∠BIC = 180° - (∠IBC + ∠ICB) = 180° - (26° + 24°) = 180° - 50° = 130°
したがって、y = 130°
3. 最終的な答え
(1) 点Oは△ABCの外心の場合:
x = 34°
y = 23°
(2) 点Iは△ABCの内心の場合:
x = 24°
y = 130°