$\triangle ABC$と点Pに対し、ベクトルに関する等式 $2\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$ が成り立つ。このとき、辺BCを(ア):(イ)に内分する点をDとし、点Pは線分ADを(ウ):(エ)に内分する点である。(ア):(イ)と(ウ):(エ)を最も簡単な整数の比で表す。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$と点Pに対し、ベクトルに関する等式 $2\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$ が成り立つ。このとき、辺BCを(ア):(イ)に内分する点をDとし、点Pは線分ADを(ウ):(エ)に内分する点である。(ア):(イ)と(ウ):(エ)を最も簡単な整数の比で表す。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式をPを基準とするベクトルで書き換える。

$2\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$

$-2\overrightarrow{AP}-3\overrightarrow{BP}-\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}$

$2\overrightarrow{AP}+3(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{0}$

$6\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AP}=\frac{3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{6}$

次に、点Dは辺BCを(ア):(イ)に内分する点なので、$\overrightarrow{AD}$を$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$で表したい。Dは辺BCを $t:1-t$ に内分するとすると、

$\overrightarrow{AD} = (1-t) \overrightarrow{AB} + t \overrightarrow{AC}$

$3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ の形にしたいので、$\overrightarrow{AP}=\frac{3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{6}=\frac{4}{6} \times \frac{3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{4}$　と変形する。

$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3} \times \frac{3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{4}$

ここで、$\overrightarrow{AD} = \frac{3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{4}$ とすると、

$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$

したがって、PはADを 2:1 に内分する点であることがわかります。

また、Dは辺BCを 1:3 に内分する点です。なぜならば、$\overrightarrow{AD} = \frac{3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{4}$ であるからです。

$\overrightarrow{AD} = \frac{3\overrightarrow{AB}+1\overrightarrow{AC}}{3+1} \times (3+1)/4 = \frac{3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{4} = \frac{3}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AD}=\frac{3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{4} = \frac{\overrightarrow{AC} \times 1 + \overrightarrow{AB} \times 3}{1+3}$

3. 最終的な答え

(ア):(イ) = 1:3

(ウ):(エ) = 2:1