2次方程式 $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$ が $x=1$ を解に持つとき、定数 $m$ の値を求める。

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5. (1)

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$ が $x=1$ を解に持つとき、定数 $m$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$x=1$ を与えられた方程式に代入する。

$$(1)^2 - 2m(1) + m^2 - 1 = 0$$

$$1 - 2m + m^2 - 1 = 0$$

$$m^2 - 2m = 0$$

$$m(m - 2) = 0$$

したがって、$m = 0$ または $m = 2$

3. 最終的な答え

$m = 0, 2$

##

6

5. (2)

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + (3m^2 + 5)x + 6m = 0$ が $x=-1$ を解に持つとき、定数 $m$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$x=-1$ を与えられた方程式に代入する。

$$2(-1)^2 + (3m^2 + 5)(-1) + 6m = 0$$

$$2 - 3m^2 - 5 + 6m = 0$$

$$-3m^2 + 6m - 3 = 0$$

$$3m^2 - 6m + 3 = 0$$

$$m^2 - 2m + 1 = 0$$

$$(m-1)^2 = 0$$

したがって、$m=1$

3. 最終的な答え

$m = 1$

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6

6. (1)

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - (a+1)x - a + 1 = 0$ が、1つの解が0と1の間にあり、他の解が1と2の間にあるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^2 - (a+1)x - a + 1$ とする。

1つの解が0と1の間、もう1つの解が1と2の間にあるためには、

$f(0)$ と $f(1)$ の符号が異なり、かつ $f(1)$ と $f(2)$ の符号が異なればよい。

すなわち、$f(0)f(1) < 0$ かつ $f(1)f(2) < 0$ が成立すれば良い。

$f(0) = 0^2 - (a+1)(0) - a + 1 = -a + 1$

$f(1) = 1^2 - (a+1)(1) - a + 1 = 1 - a - 1 - a + 1 = -2a + 1$

$f(2) = 2^2 - (a+1)(2) - a + 1 = 4 - 2a - 2 - a + 1 = -3a + 3$

$f(0)f(1) = (-a+1)(-2a+1) = 2a^2 -3a + 1 < 0$

$(2a-1)(a-1) < 0$

$\frac{1}{2} < a < 1$

$f(1)f(2) = (-2a+1)(-3a+3) = 6a^2 - 9a + 3 < 0$

$2a^2 - 3a + 1 < 0$

$(2a-1)(a-1) < 0$

$\frac{1}{2} < a < 1$

したがって、$\frac{1}{2} < a < 1$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} < a < 1$

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6

6. (2)

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - (a+1)x - a + 1 = 0$ のすべての解が正であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^2 - (a+1)x - a + 1 = 0$ とする。

この2次方程式が2つの正の解を持つための条件は、

判別式 $D \geq 0$、軸 $> 0$、かつ $f(0) > 0$ である。

$D = (a+1)^2 - 4(-a+1) = a^2 + 2a + 1 + 4a - 4 = a^2 + 6a - 3 \geq 0$

$a^2 + 6a - 3 = 0$ の解は $a = \frac{-6 \pm \sqrt{36+12}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{3}$

よって、$a \leq -3 - 2\sqrt{3}$ または $a \geq -3 + 2\sqrt{3}$

軸 $x = \frac{a+1}{2} > 0$ より、$a+1 > 0$ すなわち $a > -1$

$f(0) = -a + 1 > 0$ より、$a < 1$

$a > -1$ かつ $a < 1$ かつ ($a \leq -3 - 2\sqrt{3}$ または $a \geq -3 + 2\sqrt{3}$) を満たす $a$ の範囲を求める。

$a \geq -3 + 2\sqrt{3} \approx 0.464$

$-1 < a < 1$ より、$-3+2\sqrt{3} \leq a < 1$

3. 最終的な答え

$-3 + 2\sqrt{3} \leq a < 1$

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6. (3)

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - (a+1)x - a + 1 = 0$ のすべての解が $0 < x < 1$ の間にあるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^2 - (a+1)x - a + 1$ とする。

2つの解が $0 < x < 1$ の間にあるためには、

$D \geq 0$、 $0 <$ 軸 $< 1$、$f(0) > 0$、$f(1) > 0$ を満たす必要がある。

$D \geq 0$ より、$a \leq -3 - 2\sqrt{3}$ または $a \geq -3 + 2\sqrt{3}$

軸 $= \frac{a+1}{2}$ であり、$0 < \frac{a+1}{2} < 1$ より、$0 < a+1 < 2$ すなわち $-1 < a < 1$

$f(0) = -a + 1 > 0$ より、$a < 1$

$f(1) = -2a + 1 > 0$ より、$a < \frac{1}{2}$

以上より、$-1 < a < \frac{1}{2}$ かつ($a \leq -3 - 2\sqrt{3}$ または $a \geq -3 + 2\sqrt{3}$) を満たす $a$ の範囲を求める。

$-3 + 2\sqrt{3} \approx -3 + 2(1.732) \approx 0.464$

したがって、$-3 + 2\sqrt{3} \le a < \frac{1}{2}$ は存在しない。

$-1 < a \le -3 - 2 \sqrt{3}$ も存在しない。

したがって、$-3+2\sqrt{3} \leq a < \frac{1}{2}$.

3. 最終的な答え

$-3 + 2\sqrt{3} \leq a < \frac{1}{2}$

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7. (1)

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + 5x + 3$ と直線 $y = x + a$ が接するとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

放物線と直線が接するということは、$x^2 + 5x + 3 = x + a$ の解がただ一つとなる。

したがって、$x^2 + 4x + 3 - a = 0$ の判別式が0となる。

$D = 4^2 - 4(3-a) = 16 - 12 + 4a = 4 + 4a = 0$

$4a = -4$

$a = -1$

3. 最終的な答え

$a = -1$

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6

7. (2)

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + 5x + 3$ と直線 $y = x + a$ が接するときの接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) より $a = -1$ であり、接する時の $x$ 座標は、$x^2 + 4x + 3 - a = 0$ の解である。

$x^2 + 4x + 3 - (-1) = x^2 + 4x + 4 = 0$

$(x+2)^2 = 0$

$x = -2$

$y = x + a = -2 + (-1) = -3$

したがって、接点の座標は $(-2, -3)$

3. 最終的な答え

接点の座標は $(-2, -3)$

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8. (1)

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2x - 1$ と直線 $y = ax - 5$ が2つの共有点を持つように、定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

$x^2 - 2x - 1 = ax - 5$

$x^2 - (2+a)x + 4 = 0$

2つの共有点を持つためには、この2次方程式が2つの異なる実数解を持てば良い。

したがって、判別式 $D > 0$ となる。

$D = (2+a)^2 - 4(4) = a^2 + 4a + 4 - 16 = a^2 + 4a - 12 > 0$

$(a+6)(a-2) > 0$

したがって、$a < -6$ または $a > 2$

3. 最終的な答え

$a < -6, a > 2$

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8. (2)

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2x - 1$ と直線 $y = ax - 5$ が接するように、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$x^2 - 2x - 1 = ax - 5$

$x^2 - (2+a)x + 4 = 0$

接するためには、判別式 $D = 0$ となる。

$D = (2+a)^2 - 4(4) = a^2 + 4a + 4 - 16 = a^2 + 4a - 12 = 0$

$(a+6)(a-2) = 0$

したがって、$a = -6$ または $a = 2$

3. 最終的な答え

$a = -6, 2$

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8. (3)

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2x - 1$ と直線 $y = ax - 5$ が共有点を持たないように、定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

$x^2 - 2x - 1 = ax - 5$

$x^2 - (2+a)x + 4 = 0$

共有点を持たないためには、判別式 $D < 0$ となる。

$D = (2+a)^2 - 4(4) = a^2 + 4a + 4 - 16 = a^2 + 4a - 12 < 0$

$(a+6)(a-2) < 0$

したがって、$-6 < a < 2$

3. 最終的な答え

$-6 < a < 2$