不等式 $(\frac{1}{4})^x + \frac{1}{2^x} - 6 > 0$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $(\frac{1}{4})^x + \frac{1}{2^x} - 6 > 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$(\frac{1}{4})^x$ を $(2^{-2})^x = 2^{-2x} = (2^{-x})^2$ と書き換え、$\frac{1}{2^x}$ を $2^{-x}$ と書き換えます。

すると不等式は $(2^{-x})^2 + 2^{-x} - 6 > 0$ となります。

ここで、$t = 2^{-x}$ とおくと、不等式は $t^2 + t - 6 > 0$ となります。

この二次不等式を解きます。

$t^2 + t - 6 = (t+3)(t-2) > 0$ より、$t < -3$ または $t > 2$ となります。

ここで、$t = 2^{-x} > 0$ であるから、$t < -3$ は解として不適です。

したがって、$t > 2$ より、$2^{-x} > 2$ となります。

$2^{-x} > 2^1$ より、指数関数は底が 1 より大きいので、$-x > 1$ となります。

両辺に -1 をかけると、$x < -1$ となります。

3. 最終的な答え

$x < -1$