正六角形について、以下の数を求めます。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数 (3) 2個の頂点を結ぶ線分の本数 (4) 対角線の本数

1. 問題の内容

正六角形について、以下の数を求めます。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数

(3) 2個の頂点を結ぶ線分の本数

(4) 対角線の本数

2. 解き方の手順

(1) 三角形の個数

正六角形の6個の頂点から3個を選ぶ組み合わせを考えます。

これは組み合わせの公式 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算できます。

この場合、$n=6$, $r=3$ なので、

$_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

(2) 四角形の個数

正六角形の6個の頂点から4個を選ぶ組み合わせを考えます。

この場合、$n=6$, $r=4$ なので、

$_6C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

(3) 線分の本数

正六角形の6個の頂点から2個を選ぶ組み合わせを考えます。

この場合、$n=6$, $r=2$ なので、

$_6C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

(4) 対角線の本数

線分の本数から正六角形の辺の数を引くと、対角線の本数が求められます。正六角形の辺の数は6なので、

$15 - 6 = 9$

あるいは、一般にn角形の対角線の本数は $n(n-3)/2$で与えられるので、

$6(6-3)/2 = 6 \times 3 /2 = 9$

3. 最終的な答え

(1) 三角形の個数: 20個

(2) 四角形の個数: 15個

(3) 線分の本数: 15本

(4) 対角線の本数: 9本