(1) $x \geq 0$のとき、$\frac{1}{x^2+x+1} \geq \frac{1}{(x+1)^2}$ を示す。 (2) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^2+x+1} > \frac{1}{2}$ を示す。

1. 問題の内容

(1) $x \geq 0$のとき、$\frac{1}{x^2+x+1} \geq \frac{1}{(x+1)^2}$ を示す。

(2) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^2+x+1} > \frac{1}{2}$ を示す。

2. 解き方の手順

(1) $x \geq 0$のとき、$\frac{1}{x^2+x+1} \geq \frac{1}{(x+1)^2}$ を示す。

不等式の両辺の逆数をとると、

$x^2+x+1 \leq (x+1)^2$ となることを示す。

$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ であるから、$x^2+x+1 \leq x^2 + 2x + 1$ を示す。

両辺から $x^2+x+1$を引くと、$0 \leq x$ となる。これは問題文の条件 $x \geq 0$ と一致するので、$\frac{1}{x^2+x+1} \geq \frac{1}{(x+1)^2}$ が成り立つ。

(2) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^2+x+1} > \frac{1}{2}$ を示す。

(1)より、$x \geq 0$のとき、$\frac{1}{x^2+x+1} \geq \frac{1}{(x+1)^2}$である。

したがって、$\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^2+x+1} \geq \int_{0}^{1} \frac{dx}{(x+1)^2}$ が成り立つ。

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{(x+1)^2} = \left[-\frac{1}{x+1}\right]_0^1 = -\frac{1}{2} - (-1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{x^2+x+1} > \frac{1}{(x+1)^2}$ が $x \geq 0$ で成り立つことを確認する。

$x=0$のとき、$\frac{1}{0^2+0+1} = 1$ かつ $\frac{1}{(0+1)^2} = 1$ であるので、$\frac{1}{x^2+x+1} = \frac{1}{(x+1)^2}$である。

$x>0$のとき、$\frac{1}{x^2+x+1} > \frac{1}{(x+1)^2}$となる。

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^2+x+1} > \int_{0}^{1} \frac{dx}{(x+1)^2}$

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{(x+1)^2} = \frac{1}{2}$ であるから、$\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^2+x+1} > \frac{1}{2}$が示された。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{x^2+x+1} \geq \frac{1}{(x+1)^2}$

(2) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^2+x+1} > \frac{1}{2}$