与えられた各関数について、マクローリン級数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた各関数について、マクローリン級数を求める問題です。

2. 解き方の手順

各関数について、マクローリン級数の定義に基づいて求めます。マクローリン級数とは、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りでテイラー展開したものです。

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

各問題について、既知のマクローリン級数を利用したり、微分を繰り返して各項を求めたりします。

いくつかの例について、詳細な解き方を示します。

(2) $y = e^{2x}$ の場合：

$e^x$ のマクローリン級数は、

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

これを利用して、$e^{2x}$ のマクローリン級数は、

$e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n!} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \cdots = 1 + 2x + \frac{4x^2}{2} + \frac{8x^3}{6} + \cdots$

(7) $y=e^{-x}$ の場合：

$e^x$ のマクローリン級数において、$x$を$-x$に置き換えることで求められます。

$e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \cdots$

(8) $y = \frac{1}{x+1}$ の場合：

等比級数 $\frac{1}{1-r} = \sum_{n=0}^{\infty} r^n$ を利用します。

$y = \frac{1}{1+x} = \frac{1}{1-(-x)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - \cdots$

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 \sin x = x^2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+3}}{(2n+1)!} = x^3 - \frac{x^5}{3!} + \frac{x^7}{5!} - \cdots$

(2) $y = e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n!} = 1 + 2x + \frac{4x^2}{2!} + \frac{8x^3}{3!} + \cdots$

(3) $y = \frac{1}{x^2+1} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots$

(4) $y = \tan^{-1} x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$

(5) $y = 3^x = e^{x \ln 3} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln 3)^n x^n}{n!} = 1 + (\ln 3)x + \frac{(\ln 3)^2 x^2}{2!} + \frac{(\ln 3)^3 x^3}{3!} + \cdots$

(6) $y = x^2 e^x = x^2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{n!} = x^2 + x^3 + \frac{x^4}{2!} + \frac{x^5}{3!} + \cdots$

(7) $y = e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n!} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \cdots$

(8) $y = \frac{1}{x+1} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - \cdots$

(9) $y = \cos x^2 = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (x^2)^{2n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{4n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^4}{2!} + \frac{x^8}{4!} - \cdots$

(10) $y = x \log(1+x) = x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}x^{n+1}}{n} = x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} - \frac{x^5}{4} + \cdots$

(11) $y = e^x \sin x = x + x^2 + \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{30} + \cdots$ (計算が複雑なため、最初の数項のみ)