次の関数のマクローリン級数を求めよ。 (1) $y = x^2 \sin x$ (2) $y = e^{2x}$ (4) $y = \tan^{-1} x$ (5) $y = 3^x$

1. 問題の内容

次の関数のマクローリン級数を求めよ。

(1) $y = x^2 \sin x$

(2) $y = e^{2x}$

(4) $y = \tan^{-1} x$

(5) $y = 3^x$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 \sin x$

$\sin x$ のマクローリン級数は

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

である。したがって、

$x^2 \sin x = x^2 \left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \right)$

$= x^3 - \frac{x^5}{3!} + \frac{x^7}{5!} - \frac{x^9}{7!} + \cdots$

$= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+3}}{(2n+1)!}$

(2) $y = e^{2x}$

$e^x$ のマクローリン級数は

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

である。したがって、

$e^{2x} = 1 + (2x) + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \cdots$

$= 1 + 2x + \frac{4x^2}{2!} + \frac{8x^3}{3!} + \cdots$

$= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n!}$

(4) $y = \tan^{-1} x$

$\tan^{-1} x$ の微分は $\frac{1}{1+x^2}$ である。

$\frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$

$\tan^{-1} x = \int \frac{1}{1+x^2} dx = \int \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} dx = \sum_{n=0}^{\infty} \int (-1)^n x^{2n} dx$

$= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + C$

$x=0$ を代入すると $\tan^{-1} 0 = 0 = 0 + C$ より $C=0$

したがって、

$\tan^{-1} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$

(5) $y = 3^x$

$3^x = e^{\ln(3^x)} = e^{x \ln 3}$

$e^x$ のマクローリン級数は

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

である。したがって、

$3^x = e^{x \ln 3} = 1 + (x \ln 3) + \frac{(x \ln 3)^2}{2!} + \frac{(x \ln 3)^3}{3!} + \cdots$

$= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x \ln 3)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln 3)^n x^n}{n!}$

3. 最終的な答え

(1) $x^3 - \frac{x^5}{3!} + \frac{x^7}{5!} - \frac{x^9}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+3}}{(2n+1)!}$

(2) $1 + 2x + \frac{4x^2}{2!} + \frac{8x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n!}$

(4) $x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$

(5) $1 + (x \ln 3) + \frac{(x \ln 3)^2}{2!} + \frac{(x \ln 3)^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln 3)^n x^n}{n!}$