与えられた曲線または直線で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。 (1) $y=x^2-4x$ と $x$軸 (2) $y=x^2-4x+5$ と $x$軸, $y$軸, $x=3$ (3) $y=x^2+2x-3$ と $x$軸, $x=2$ (ただし，$S$は2つの部分の和)

1. 問題の内容

与えられた曲線または直線で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

(1) $y=x^2-4x$ と $x$軸

(2) $y=x^2-4x+5$ と $x$軸, $y$軸, $x=3$

(3) $y=x^2+2x-3$ と $x$軸, $x=2$ (ただし，$S$は2つの部分の和)

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 4x$ と $x$軸で囲まれた面積を求めます。

$x^2 - 4x = 0$ を解くと、$x(x-4) = 0$ より、$x = 0, 4$。

求める面積は

$S = \left|\int_0^4 (x^2 - 4x) dx\right| = \left|\left[\frac{1}{3}x^3 - 2x^2\right]_0^4\right| = \left|\frac{64}{3} - 32\right| = \left|-\frac{32}{3}\right| = \frac{32}{3}$

(2) $y = x^2 - 4x + 5$ と $x$軸, $y$軸, $x=3$ で囲まれた面積を求めます。

$y = x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1$ より、この関数は常に正の値を取ります。

したがって、求める面積は

$S = \int_0^3 (x^2 - 4x + 5) dx = \left[\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 5x\right]_0^3 = \frac{27}{3} - 18 + 15 = 9 - 18 + 15 = 6$

(3) $y = x^2 + 2x - 3$ と $x$軸, $x=2$ で囲まれた面積を求めます。ただし，$S$は2つの部分の和です。

$x^2 + 2x - 3 = 0$ を解くと、$(x+3)(x-1) = 0$ より、$x = -3, 1$。

求める面積は、

$S = \left|\int_{-3}^1 (x^2 + 2x - 3) dx\right| + \left|\int_1^2 (x^2 + 2x - 3) dx\right|$

$\int (x^2 + 2x - 3) dx = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x$

$\int_{-3}^1 (x^2 + 2x - 3) dx = \left[\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x\right]_{-3}^1 = \left(\frac{1}{3} + 1 - 3\right) - \left(\frac{-27}{3} + 9 + 9\right) = \frac{1}{3} - 2 - (-9+18) = \frac{1}{3} - 2 - 9 = \frac{1}{3} - 11 = -\frac{32}{3}$

$\int_1^2 (x^2 + 2x - 3) dx = \left[\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x\right]_1^2 = \left(\frac{8}{3} + 4 - 6\right) - \left(\frac{1}{3} + 1 - 3\right) = \frac{8}{3} - 2 - \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$

$S = \left|-\frac{32}{3}\right| + \left|\frac{7}{3}\right| = \frac{32}{3} + \frac{7}{3} = \frac{39}{3} = 13$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{32}{3}$

(2) $6$

(3) $13$