与えられた関数 $y$ について、マクローリン級数を求めます。マクローリン級数とは、関数 $f(x)$ の $x=0$ におけるテイラー展開のことであり、次のように表されます。 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

はい、承知いたしました。問題文に示された関数について、マクローリン級数を求めます。今回は、(1) $y=x^2\sin{x}$, (4) $y = \tan^{-1}x$, (7) $y = e^{-x}$, (10) $y = x\log(1+x)$ の4つの問題全てを解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y$ について、マクローリン級数を求めます。マクローリン級数とは、関数 $f(x)$ の $x=0$ におけるテイラー展開のことであり、次のように表されます。

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 \sin x$

$\sin x$ のマクローリン展開は次の通りです。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

したがって、$x^2 \sin x$ のマクローリン展開は次のようになります。

$x^2 \sin x = x^2(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots) = x^3 - \frac{x^5}{3!} + \frac{x^7}{5!} - \frac{x^9}{7!} + \cdots$

(4) $y = \tan^{-1} x$

$y = \tan^{-1} x$ を微分すると、

$y' = \frac{1}{1+x^2} = (1+x^2)^{-1}$

これは等比数列の和の形に変形できます。

$\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots$

これを積分すると、

$\tan^{-1}x = \int \frac{1}{1+x^2} dx = \int (1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots) dx = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots + C$

$\tan^{-1}(0) = 0$ より $C=0$ なので、

$\tan^{-1}x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$

(7) $y = e^{-x}$

$e^x$ のマクローリン展開は次の通りです。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$

したがって、$e^{-x}$ のマクローリン展開は次のようになります。

$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

(10) $y = x \log(1+x)$

$\log(1+x)$ のマクローリン展開は次の通りです。

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$

したがって、$x \log(1+x)$ のマクローリン展開は次のようになります。

$x \log(1+x) = x(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots) = x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} - \frac{x^5}{4} + \cdots$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 \sin x = x^3 - \frac{x^5}{3!} + \frac{x^7}{5!} - \frac{x^9}{7!} + \cdots$

(4) $\tan^{-1} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$

(7) $e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

(10) $x \log(1+x) = x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} - \frac{x^5}{4} + \cdots$