関数 $f(x) = \frac{1}{6}(e^{3x} + e^{-3x})$ について、以下の3つの量を求める問題です。 (1) 曲線 $y=f(x)$、$x$軸、$y$軸、および直線 $x=\log 2$ で囲まれた図形の面積。 (2) 上記の図形を$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積。 (3) 曲線 $y=f(x)$ の $0 \le x \le \log 2$ の部分の長さ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{6}(e^{3x} + e^{-3x})$ について、以下の3つの量を求める問題です。

(1) 曲線 $y=f(x)$、$x$軸、$y$軸、および直線 $x=\log 2$ で囲まれた図形の面積。

(2) 上記の図形を$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積。

(3) 曲線 $y=f(x)$ の $0 \le x \le \log 2$ の部分の長さ。

2. 解き方の手順

(1) 面積の計算

面積$S$は次のように計算できます。

$S = \int_0^{\log 2} f(x) dx = \int_0^{\log 2} \frac{1}{6}(e^{3x} + e^{-3x}) dx$

$= \frac{1}{6} \left[ \frac{1}{3} e^{3x} - \frac{1}{3} e^{-3x} \right]_0^{\log 2}$

$= \frac{1}{18} \left[ e^{3x} - e^{-3x} \right]_0^{\log 2}$

$= \frac{1}{18} \left[ e^{3\log 2} - e^{-3\log 2} - (e^0 - e^0) \right]$

$= \frac{1}{18} \left[ e^{\log 2^3} - e^{\log 2^{-3}} \right]$

$= \frac{1}{18} \left[ 2^3 - 2^{-3} \right]$

$= \frac{1}{18} \left[ 8 - \frac{1}{8} \right]$

$= \frac{1}{18} \left[ \frac{64 - 1}{8} \right]$

$= \frac{1}{18} \cdot \frac{63}{8} = \frac{7}{16}$

(2) 体積の計算

体積$V$は次のように計算できます。

$V = \pi \int_0^{\log 2} [f(x)]^2 dx = \pi \int_0^{\log 2} \left[ \frac{1}{6}(e^{3x} + e^{-3x}) \right]^2 dx$

$= \frac{\pi}{36} \int_0^{\log 2} (e^{6x} + 2 + e^{-6x}) dx$

$= \frac{\pi}{36} \left[ \frac{1}{6} e^{6x} + 2x - \frac{1}{6} e^{-6x} \right]_0^{\log 2}$

$= \frac{\pi}{36} \left[ \frac{1}{6} (e^{6\log 2} - e^{-6\log 2}) + 2\log 2 \right]$

$= \frac{\pi}{36} \left[ \frac{1}{6} (2^6 - 2^{-6}) + 2\log 2 \right]$

$= \frac{\pi}{36} \left[ \frac{1}{6} (64 - \frac{1}{64}) + 2\log 2 \right]$

$= \frac{\pi}{36} \left[ \frac{1}{6} \cdot \frac{4096 - 1}{64} + 2\log 2 \right]$

$= \frac{\pi}{36} \left[ \frac{4095}{384} + 2\log 2 \right]$

$= \frac{\pi}{36} \left[ \frac{1365}{128} + 2\log 2 \right] = \frac{455}{1536}\pi + \frac{\log 2}{18} \pi$

(3) 曲線長

曲線長$L$は次のように計算できます。

$L = \int_0^{\log 2} \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$

$f'(x) = \frac{1}{6}(3e^{3x} - 3e^{-3x}) = \frac{1}{2}(e^{3x} - e^{-3x})$

$[f'(x)]^2 = \frac{1}{4}(e^{6x} - 2 + e^{-6x})$

$1 + [f'(x)]^2 = 1 + \frac{1}{4}(e^{6x} - 2 + e^{-6x}) = \frac{1}{4}(e^{6x} + 2 + e^{-6x}) = \frac{1}{4}(e^{3x} + e^{-3x})^2$

$L = \int_0^{\log 2} \sqrt{\frac{1}{4}(e^{3x} + e^{-3x})^2} dx = \int_0^{\log 2} \frac{1}{2}(e^{3x} + e^{-3x}) dx$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{3} e^{3x} - \frac{1}{3} e^{-3x} \right]_0^{\log 2}$

$= \frac{1}{6} \left[ e^{3x} - e^{-3x} \right]_0^{\log 2}$

$= \frac{1}{6} \left[ e^{3\log 2} - e^{-3\log 2} \right]$

$= \frac{1}{6} \left[ 8 - \frac{1}{8} \right] = \frac{1}{6} \cdot \frac{63}{8} = \frac{21}{16}$

3. 最終的な答え

(1) 面積：$\frac{7}{16}$

(2) 体積：$\frac{455}{1536}\pi + \frac{\log 2}{18}\pi$

(3) 曲線長：$\frac{21}{16}$