問題は以下の通りです。 $k > 1$とし、曲線 $y = e^{-kx^2}$ を $C$ とする。 (1) 曲線 $C$ 上の点 $(x_0, e^{-kx_0^2})$ における法線が原点 $O$ を通るような $x_0$ をすべて求めよ。 (2) 曲線 $C$ 上の点における法線で、原点 $O$ を通り、傾きが1のものが存在するとする。このとき、定数 $k$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

$k > 1$とし、曲線 $y = e^{-kx^2}$ を $C$ とする。

(1) 曲線 $C$ 上の点 $(x_0, e^{-kx_0^2})$ における法線が原点 $O$ を通るような $x_0$ をすべて求めよ。

(2) 曲線 $C$ 上の点における法線で、原点 $O$ を通り、傾きが1のものが存在するとする。このとき、定数 $k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

曲線 $C: y = e^{-kx^2}$ を微分すると、

$\frac{dy}{dx} = e^{-kx^2} \cdot (-2kx) = -2kxe^{-kx^2}$

点 $(x_0, e^{-kx_0^2})$ における接線の傾きは、

$-2kx_0e^{-kx_0^2}$

したがって、法線の傾きは、

$\frac{1}{2kx_0e^{-kx_0^2}}$ （ただし、$x_0 \ne 0$）

点 $(x_0, e^{-kx_0^2})$ における法線の方程式は、

$y - e^{-kx_0^2} = \frac{1}{2kx_0e^{-kx_0^2}} (x - x_0)$

この法線が原点 $(0, 0)$ を通るので、代入すると、

$-e^{-kx_0^2} = \frac{1}{2kx_0e^{-kx_0^2}} (-x_0)$

$-e^{-kx_0^2} = -\frac{1}{2ke^{-kx_0^2}}$

$e^{-2kx_0^2} = \frac{1}{2k}$

両辺の自然対数をとると、

$-2kx_0^2 = \ln \frac{1}{2k} = - \ln 2k$

$x_0^2 = \frac{\ln 2k}{2k}$

$x_0 = \pm \sqrt{\frac{\ln 2k}{2k}}$

ここで、$x_0 = 0$ のとき、点 $(0, 1)$ における接線の傾きは $0$ なので法線は $x=0$ となる。これは原点を通るので、$x_0=0$も解である。

したがって、$x_0 = 0, \pm \sqrt{\frac{\ln 2k}{2k}}$

(2)

(1)より、法線の傾きは $\frac{1}{2kx_0e^{-kx_0^2}}$ であり、これが1に等しいので、

$\frac{1}{2kx_0e^{-kx_0^2}} = 1$

$2kx_0e^{-kx_0^2} = 1$

$x_0e^{-kx_0^2} = \frac{1}{2k}$

法線は原点を通るので、法線の方程式は $y=x$ である。

これは点 $(x_0, e^{-kx_0^2})$ を通るので、

$e^{-kx_0^2} = x_0$

これを、$x_0e^{-kx_0^2} = \frac{1}{2k}$ に代入すると、

$x_0^2 = \frac{1}{2k}$

$x_0 = \pm \frac{1}{\sqrt{2k}}$

$e^{-kx_0^2} = x_0$ に代入すると、

$e^{-k\frac{1}{2k}} = e^{-1/2} = x_0$

$x_0 = \frac{1}{\sqrt{e}}$

したがって、$\frac{1}{\sqrt{e}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2k}}$

$\frac{1}{e} = \frac{1}{2k}$

$2k = e$

$k = \frac{e}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x_0 = 0, \pm \sqrt{\frac{\ln 2k}{2k}}$

(2) $k = \frac{e}{2}$