数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。数列 $\{a_n\}$ は $0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, \dots$ で与えられます。

## 問題１：数列{a_n}の和

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。数列 $\{a_n\}$ は $0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, \dots$ で与えられます。

2. 解き方の手順

数列の一般項 $a_n$ を見つけます。

$a_n$ は、小数点以下に $n$ 個の3が並んだ数であることから、以下のように表せます。

$a_n = \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + \dots + \frac{3}{10^n}$

これは初項 $\frac{3}{10}$ 、公比 $\frac{1}{10}$ の等比数列の和なので、

$a_n = \frac{\frac{3}{10}(1 - (\frac{1}{10})^n)}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{3}{10}(1 - \frac{1}{10^n})}{\frac{9}{10}} = \frac{1}{3}(1 - \frac{1}{10^n})$

したがって、数列の和 $S_n$ は以下のようになります。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3}(1 - \frac{1}{10^k}) = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} (1 - \frac{1}{10^k}) = \frac{1}{3} (\sum_{k=1}^{n} 1 - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{10^k})$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{10^k}$ は、初項 $\frac{1}{10}$ 、公比 $\frac{1}{10}$ の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{10^k} = \frac{\frac{1}{10}(1 - (\frac{1}{10})^n)}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{1}{10}(1 - \frac{1}{10^n})}{\frac{9}{10}} = \frac{1}{9}(1 - \frac{1}{10^n})$

$S_n = \frac{1}{3} (n - \frac{1}{9}(1 - \frac{1}{10^n})) = \frac{1}{3} (n - \frac{1}{9} + \frac{1}{9 \cdot 10^n}) = \frac{n}{3} - \frac{1}{27} + \frac{1}{27 \cdot 10^n}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{n}{3} - \frac{1}{27} + \frac{1}{27 \cdot 10^n} = \frac{1}{27}(9n - 1 + \frac{1}{10^n})$

## 問題２：数列{b_n}の和

1. 問題の内容

数列 $1^2 \times n, 2^2 \times (n-1), 3^2 \times (n-2), \dots, n^2 \times 1$ の総和 $S_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

一般項 $b_k$ を求めます。第 $k$ 項は、$k^2 (n - k + 1)$ と表せます。

したがって、数列の和 $S_n$ は以下のようになります。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} b_k = \sum_{k=1}^{n} k^2 (n - k + 1) = \sum_{k=1}^{n} (nk^2 - k^3 + k^2) = \sum_{k=1}^{n} ( (n+1)k^2 - k^3 )$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

$S_n = (n+1) \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k^3 = (n+1) \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

$S_n = \frac{n(n+1)^2}{12} (2(2n+1) - 3n) = \frac{n(n+1)^2}{12} (4n + 2 - 3n) = \frac{n(n+1)^2 (n+2)}{12}$

3. 最終的な答え

$S_n = \frac{n(n+1)^2 (n+2)}{12}$