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円錐Pと円錐Qは相似な立体である。円錐Pの底面の半径は6cm、円錐Qの底面の半径は10cmである。 (1) PとQの表面積の比を求めよ。 (2) PとQの体積比を求めよ。

幾何学相似円錐表面積体積比
2025/6/12

1. 問題の内容

円錐Pと円錐Qは相似な立体である。円錐Pの底面の半径は6cm、円錐Qの底面の半径は10cmである。
(1) PとQの表面積の比を求めよ。
(2) PとQの体積比を求めよ。

2. 解き方の手順

相似な立体の表面積比と体積比に関する問題である。相似比をまず計算し、表面積比は相似比の2乗、体積比は相似比の3乗になることを利用する。
(1)
まず、円錐Pと円錐Qの相似比を求める。相似比は、対応する部分の長さの比に等しい。今回は底面の半径が与えられているので、相似比は 6:10=3:56:10 = 3:5 となる。
表面積比は相似比の2乗なので、(3:5)2=9:25(3:5)^2 = 9:25 となる。
(2)
体積比は相似比の3乗なので、(3:5)3=27:125(3:5)^3 = 27:125 となる。

3. 最終的な答え

(1) 表面積比: 9:25
(2) 体積比: 27:125

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