等式 $\tan^2\theta - \sin^2\theta = \tan^2\theta \sin^2\theta$ を証明します。

1. 問題の内容

等式 $\tan^2\theta - \sin^2\theta = \tan^2\theta \sin^2\theta$ を証明します。

2. 解き方の手順

左辺を変形して右辺に一致することを示します。

まず、$\tan^2\theta$を$\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}$で置き換えます。

$\tan^2\theta - \sin^2\theta = \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} - \sin^2\theta$

次に、右辺を通分します。

$\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} - \sin^2\theta = \frac{\sin^2\theta - \sin^2\theta\cos^2\theta}{\cos^2\theta}$

分子を$\sin^2\theta$でくくります。

$\frac{\sin^2\theta - \sin^2\theta\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{\sin^2\theta(1 - \cos^2\theta)}{\cos^2\theta}$

三角関数の基本的な恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$より、$1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta$となります。

$\frac{\sin^2\theta(1 - \cos^2\theta)}{\cos^2\theta} = \frac{\sin^2\theta \sin^2\theta}{\cos^2\theta}$

最後に、$\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \tan^2\theta$を適用します。

$\frac{\sin^2\theta \sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \tan^2\theta \sin^2\theta$

したがって、$\tan^2\theta - \sin^2\theta = \tan^2\theta \sin^2\theta$が証明されました。

3. 最終的な答え

$\tan^2\theta - \sin^2\theta = \tan^2\theta \sin^2\theta$ は証明されました。