ある企業が財を $x$ 単位生産するとき、費用が $x^2$ だけ発生する。このとき、市場価格 $p$ と企業の利潤を最大にする生産量 $x$ の間にはどのような関係があるか、選択肢の中から最も適切なものを選ぶ問題。

## 問題1

1. 問題の内容

ある企業が財を $x$ 単位生産するとき、費用が $x^2$ だけ発生する。このとき、市場価格 $p$ と企業の利潤を最大にする生産量 $x$ の間にはどのような関係があるか、選択肢の中から最も適切なものを選ぶ問題。

2. 解き方の手順

企業の利潤は、収入から費用を引いたものである。収入は $px$ であり、費用は $x^2$ であるから、利潤 $\pi$ は、

$\pi = px - x^2$

利潤を最大にするためには、$\pi$ を $x$ で微分して0とおく。

$\frac{d\pi}{dx} = p - 2x = 0$

これを解くと、

$p = 2x$

3. 最終的な答え

3.0 p = 2x

## 問題2

1. 問題の内容

財を $x$ 単位生産するときの平均費用 $AC(x) = x^2 - 6x + 15$ が与えられている。財の価格が $30$ で一定のとき、利潤を最大にする生産量を求める問題。

2. 解き方の手順

総費用 $TC(x)$ は平均費用 $AC(x)$ に生産量 $x$ をかけたものなので、

$TC(x) = AC(x) \cdot x = (x^2 - 6x + 15)x = x^3 - 6x^2 + 15x$

利潤 $\pi$ は、収入から総費用を引いたものなので、価格を $p=30$ とすると、

$\pi = px - TC(x) = 30x - (x^3 - 6x^2 + 15x) = -x^3 + 6x^2 + 15x$

利潤を最大にするためには、$\pi$ を $x$ で微分して0とおく。

$\frac{d\pi}{dx} = -3x^2 + 12x + 15 = 0$

両辺を -3 で割ると

$x^2 - 4x - 5 = 0$

因数分解すると

$(x - 5)(x + 1) = 0$

したがって、$x = 5$ または $x = -1$ である。生産量が負になることはないので、$x=5$。

ここで、2階微分を確認して、利潤が最大となるか確認する。

$\frac{d^2\pi}{dx^2} = -6x + 12$

$x = 5$ のとき、$\frac{d^2\pi}{dx^2} = -6(5) + 12 = -18 < 0$ であるため、利潤は最大となる。

3. 最終的な答え

5.0

## 問題3

1. 問題の内容

費用関数 $C(q) = \frac{1}{3}q^3 - 2q^2 + 5q + 10$ を持つ企業について、財の価格がある値以下になると、生産量 $q=0$ が最適になるという。その「ある値」を求める問題。

2. 解き方の手順

生産量 $q=0$ が最適になるのは、価格が限界費用（MC）以下の場合である。限界費用は費用関数 $C(q)$ を $q$ で微分したものなので、

$MC(q) = \frac{dC(q)}{dq} = q^2 - 4q + 5$

$q=0$ のとき、

$MC(0) = 0^2 - 4(0) + 5 = 5$

したがって、価格が5以下になると、生産量0が最適となる。

3. 最終的な答え

5.0