与えられた微分方程式 $$(x - 3y - 5)\frac{dy}{dx} = 3x + y - 5$$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式

$$(x - 3y - 5)\frac{dy}{dx} = 3x + y - 5$$

を解く。

2. 解き方の手順

まず、微分方程式を以下のように書き換えます。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{3x + y - 5}{x - 3y - 5}$$

次に、$x = X + h$、$y = Y + k$ と変数変換します。ここで、$h$と$k$は定数です。

すると、$dx = dX$、$dy = dY$ となり、微分方程式は

$$\frac{dY}{dX} = \frac{3(X+h) + (Y+k) - 5}{(X+h) - 3(Y+k) - 5} = \frac{3X + Y + 3h + k - 5}{X - 3Y + h - 3k - 5}$$

となります。

$3h + k - 5 = 0$、$h - 3k - 5 = 0$ を満たすように$h$と$k$を選ぶと、微分方程式は

$$\frac{dY}{dX} = \frac{3X + Y}{X - 3Y}$$

となります。

$3h + k = 5$、$h - 3k = 5$ を解くと、$h = 2$、$k = -1$ となります。

ここで、$Y = vX$ と置換します。すると、$\frac{dY}{dX} = v + X \frac{dv}{dX}$ となり、微分方程式は

$$v + X \frac{dv}{dX} = \frac{3X + vX}{X - 3vX} = \frac{3 + v}{1 - 3v}$$

となります。

整理すると、

$$X \frac{dv}{dX} = \frac{3 + v}{1 - 3v} - v = \frac{3 + v - v + 3v^2}{1 - 3v} = \frac{3 + 3v^2}{1 - 3v}$$

となります。

変数分離すると、

$$\frac{1 - 3v}{3 + 3v^2} dv = \frac{dX}{X}$$

$$\frac{1 - 3v}{3(1 + v^2)} dv = \frac{dX}{X}$$

$$\frac{1}{3} \int \frac{1 - 3v}{1 + v^2} dv = \int \frac{dX}{X}$$

$$\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + v^2} dv - \int \frac{v}{1 + v^2} dv = \int \frac{dX}{X}$$

$$\frac{1}{3} \arctan(v) - \frac{1}{2} \ln(1 + v^2) = \ln|X| + C$$

$$\arctan(v) - \frac{3}{2} \ln(1 + v^2) = 3\ln|X| + C'$$

$$\arctan(v) = 3\ln|X| + \frac{3}{2} \ln(1 + v^2) + C'$$

$$\arctan(\frac{Y}{X}) = \ln(|X|^3) + \ln((1 + (\frac{Y}{X})^2)^{3/2}) + C'$$

$$\arctan(\frac{Y}{X}) = \ln(|X|^3 (1 + \frac{Y^2}{X^2})^{3/2}) + C'$$

$$\arctan(\frac{Y}{X}) = \ln(|X|^3 (\frac{X^2 + Y^2}{X^2})^{3/2}) + C'$$

$$\arctan(\frac{Y}{X}) = \ln((X^2 + Y^2)^{3/2}|X|^0) + C'$$

$$\arctan(\frac{Y}{X}) = \ln((X^2 + Y^2)^{3/2}) + C'$$

$$\arctan(\frac{y + 1}{x - 2}) = \frac{3}{2} \ln((x-2)^2 + (y+1)^2) + C'$$

3. 最終的な答え

$$\arctan(\frac{y + 1}{x - 2}) = \frac{3}{2} \ln((x-2)^2 + (y+1)^2) + C$$

または

$$2\arctan(\frac{y+1}{x-2})=3\ln((x-2)^2 + (y+1)^2) + C'$$

と表せる。（Cは積分定数）