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8で割っても12で割っても5余る3桁の整数のうち、800以下の数はいくつあるかを求める問題です。

数論整数の性質剰余最小公倍数不等式
2025/6/12

1. 問題の内容

8で割っても12で割っても5余る3桁の整数のうち、800以下の数はいくつあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、8と12の最小公倍数を求めます。
8 = 2^3
12 = 2^2 * 3
最小公倍数は 2^3 * 3 = 24 です。
次に、求める整数は 24n+524n + 5 （nは整数）の形で表されます。
3桁の整数であることから、100≤24n+5≤800100 \le 24n + 5 \le 800 を満たす必要があります。
この不等式を解きます。
100≤24n+5100 \le 24n + 5 より、 95≤24n95 \le 24n 、つまり n≥9524≈3.96n \ge \frac{95}{24} \approx 3.96
24n+5≤80024n + 5 \le 800 より、24n≤79524n \le 795 、つまり n≤79524≈33.13n \le \frac{795}{24} \approx 33.13
したがって、nは4から33までの整数となります。
nの個数は 33−4+1=3033 - 4 + 1 = 30 です。

3. 最終的な答え

30個

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