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与えられた極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{3x}{\sqrt{x^2+1}}$ を求める問題です。

解析学極限関数解析
2025/6/12

1. 問題の内容

与えられた極限 lim⁡x→∞3xx2+1\lim_{x \to \infty} \frac{3x}{\sqrt{x^2+1}} を求める問題です。

2. 解き方の手順

x→∞x \to \infty のとき、与えられた関数の分子と分母を xx で割ります。ただし、分母はx2\sqrt{x^2}で割ることを考え、x>0x>0なのでx2=x\sqrt{x^2} = xです。
lim⁡x→∞3xx2+1=lim⁡x→∞3xx1+1x2=lim⁡x→∞31+1x2\lim_{x \to \infty} \frac{3x}{\sqrt{x^2+1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}
x→∞x \to \infty のとき、1x2→0\frac{1}{x^2} \to 0 なので、
lim⁡x→∞31+1x2=31+0=31=31=3\lim_{x \to \infty} \frac{3}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = \frac{3}{\sqrt{1+0}} = \frac{3}{\sqrt{1}} = \frac{3}{1} = 3

3. 最終的な答え

3

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