5つの数字0, 1, 2, 3, 4から3つを取り出して並べてできる3桁の整数について、以下の問いに答えます。 (1) 3桁の整数は何通りできるか。 (2) 3桁の偶数は何通りできるか。

1. 問題の内容

5つの数字0, 1, 2, 3, 4から3つを取り出して並べてできる3桁の整数について、以下の問いに答えます。

(1) 3桁の整数は何通りできるか。

(2) 3桁の偶数は何通りできるか。

2. 解き方の手順

(1) 3桁の整数を作る場合、百の位には0以外の数字が入ります。

百の位には1, 2, 3, 4の4つの数字のどれかを選ぶことができます。

次に、十の位には残りの4つの数字（0を含む）のどれかを選ぶことができます。

最後に、一の位には残りの3つの数字のどれかを選ぶことができます。

したがって、3桁の整数を作る方法は、

$4 \times 4 \times 3 = 48$通りです。

(2) 3桁の偶数を作る場合、一の位が0, 2, 4のいずれかである必要があります。

一の位が0の場合、百の位は1, 2, 3, 4のいずれかの4通り、十の位は残りの3通りなので、

$4 \times 3 = 12$通りです。

一の位が2または4の場合、百の位は0以外の数字から選びます。

百の位が1または3の場合、百の位の選択肢は2通りあります。十の位は残りの3つの数字と0から選べるので3通りです。

一の位が2または4で百の位が1または3の場合、$2 \times 3 = 6$通りです。一の位を固定して百の位を固定した時、残りの十の位は３通りです。よって、一の位が2または4の場合、$2 \times 3 \times 3 = 18$通りです。

一の位に2か4が入る場合について考えます。

まず、一の位に2か4が入るので、2通りです。

次に、百の位に0が入らないことに注意して、百の位に入る数字を考えます。

百の位には、0と一の位で使用した数字以外の数字が入ります。

例えば、一の位に2が入った場合、百の位には1, 3, 4のいずれかが入ります。

同様に、一の位に4が入った場合、百の位には1, 2, 3のいずれかが入ります。

したがって、百の位に入る数字は3通りです。

最後に、十の位には、残りの数字が入ります。

例えば、一の位に2、百の位に1が入った場合、十の位には0, 3, 4のいずれかが入ります。

したがって、十の位に入る数字は3通りです。

よって、一の位に2または4が入る場合は、

$2 \times 3 \times 3 = 18$通りです。

したがって、3桁の偶数を作る方法は、

$12 + 18 = 30$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 48通り

(2) 30通り