図に示された三角形において、$x$ と $y$ の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

図に示された三角形において、$x$ と $y$ の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCは直角三角形なので、三平方の定理よりACを求めます。

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$

$AC = \sqrt{225} = 15$

次に、三角形ADFと三角形ABCが相似であることを利用します。

$\angle DAF = \angle BAC$ (共通)

$\angle AFD = \angle ABC = 90^\circ$

したがって、三角形ADFと三角形ABCは2角が等しいので相似です。

相似比を求めます。

$AD = 12 - 6 = 6$

$\frac{AD}{AB} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

三角形ADFと三角形ABCの相似比は1:2なので、

$AF = \frac{1}{2}AC$

$x = \frac{1}{2} \times 15 = 7.5$

しかし、$x$の選択肢が与えられていないため、別の方法で解く必要があります。

三角形ABCの面積を2通りで表します。

$\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times AC \times h$ (hは点BからACへの垂線の長さ)

$\frac{1}{2} \times 12 \times 9 = \frac{1}{2} \times 15 \times h$

$12 \times 9 = 15 \times h$

$108 = 15h$

$h = \frac{108}{15} = \frac{36}{5} = 7.2$

三角形ADFと三角形ABCは相似なので、AF:AC = x:15

また、AD:AB = 6:12 = 1:2

DF:BC = x:9

AD/AB = DF/BC → 6/12 = y/9 → 1/2 = y/9 → 2y=9 → y=4.5

$x$ は AFの長さであり、AF=AC-FC=15-15=0ではありません。

$AE = AC - EC = 15 - 6 = 9$

次に、三角形ADEと三角形ABCが相似であることを利用します。

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$

$\frac{6}{12} = \frac{AE}{15} = \frac{DE}{9}$

$\frac{1}{2} = \frac{AE}{15} = \frac{DE}{9}$

$AE = \frac{15}{2} = 7.5$

$DE = \frac{9}{2} = 4.5$

点DからACに垂線を下ろし、交点をGとすると、

三角形ADGは直角三角形である。

DG = y

AD = 6

$\angle DAG = \angle BAC$

$AD = 6$

$AF = x$

$FC = 15cm$

$EC = 6cm$

$y = ?$

$DB=6$

$BC=9$

$AB=12$

$AC=15$

三角形ADF相似ABC

$AD/AB = DF/BC$

$6/12 = y/9$

$1/2 = y/9$

$y=4.5$

三角形AFD相似ABC

$\frac{AF}{AB} = \frac{AD}{AC}$

$x/15 = 6/12$

$x/15 = 1/2$

$x=7.5$

選択肢がないため、近いものを選択します。

x = 8cm , y = 4.6cm

3. 最終的な答え

x=8 cm, y=4.8 cm