与えられたベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ について、以下の等式が成り立つことを示す問題です。 (1) $|2\vec{a} + \vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2 + 4\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$ (2) $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$

1. 問題の内容

与えられたベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ について、以下の等式が成り立つことを示す問題です。

(1) $|2\vec{a} + \vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2 + 4\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

(2) $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$

2. 解き方の手順

(1)

ベクトルの大きさの2乗は、ベクトル自身の内積で表されます。すなわち、$|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$ です。

したがって、

$|2\vec{a} + \vec{b}|^2 = (2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b})$

内積の性質（分配法則）を用いて展開します。

$(2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b}) = (2\vec{a}) \cdot (2\vec{a}) + (2\vec{a}) \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot (2\vec{a}) + \vec{b} \cdot \vec{b}$

$= 4(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2(\vec{b} \cdot \vec{a}) + (\vec{b} \cdot \vec{b})$

内積は交換法則を満たすので $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ です。よって、

$= 4(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{b} \cdot \vec{b})$

$= 4|\vec{a}|^2 + 4\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

(2)

内積の性質（分配法則）を用いて展開します。

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

内積は交換法則を満たすので $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ です。よって、

$= \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

$= \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

$= |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$

3. 最終的な答え

(1) $|2\vec{a} + \vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2 + 4\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

(2) $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$