工場Aで生産された製品Pの重さに関する問題です。100個の製品の重さを測定した結果が与えられており、その標本平均と分散を計算し、さらに母集団の平均と分散について考察します。

1. 問題の内容

工場Aで生産された製品Pの重さに関する問題です。100個の製品の重さを測定した結果が与えられており、その標本平均と分散を計算し、さらに母集団の平均と分散について考察します。

2. 解き方の手順

(1) 標本平均$\overline{X}$の計算

$\overline{X} = \frac{1}{100} (45.0 \times 2 + 45.1 \times 21 + 45.2 \times 56 + 45.3 \times 18 + 45.4 \times 2 + 45.5 \times 1)$

$\overline{X} = \frac{1}{100} (90.0 + 947.1 + 2531.2 + 815.4 + 90.8 + 45.5)$

$\overline{X} = \frac{1}{100} (4520.0)$

$\overline{X} = 45.2$

標本分散$\sigma^2$の計算

まず、$X^2$の平均を計算します。

$\overline{X^2} = \frac{1}{100} (45.0^2 \times 2 + 45.1^2 \times 21 + 45.2^2 \times 56 + 45.3^2 \times 18 + 45.4^2 \times 2 + 45.5^2 \times 1)$

$\overline{X^2} = \frac{1}{100} (2025 \times 2 + 2034.01 \times 21 + 2043.04 \times 56 + 2052.09 \times 18 + 2061.16 \times 2 + 2070.25 \times 1)$

$\overline{X^2} = \frac{1}{100} (4050 + 42714.21 + 114410.24 + 36937.62 + 4122.32 + 2070.25)$

$\overline{X^2} = \frac{1}{100} (204304.64)$

$\overline{X^2} = 2043.0464$

$\sigma^2 = \overline{X^2} - (\overline{X})^2$

$\sigma^2 = 2043.0464 - (45.2)^2 = 2043.0464 - 2043.04 = 0.0064$

したがって、$\sigma^2 = 0.0064$となります。

(2) 正規分布のパラメータ

標本平均$\overline{X}$は、母平均$m$、分散$\frac{\sigma^2}{n}$の正規分布$N(m, \frac{\sigma^2}{n})$に従うと近似できます。

ここで、$n = 100$であり、$\sigma^2 = 0.0064$なので、

$\frac{\sigma^2}{n} = \frac{0.0064}{100} = 0.000064 = (0.008)^2$

したがって、標本平均$\overline{X}$は$N(m, (0.008)^2)$の正規分布に従います。

$Z = \frac{\overline{X} - m}{0.008}$は標準正規分布に従います。

3. 最終的な答え

(1)

$\overline{X} = 45.2$

$\sigma^2 = 0.0064$

(2)

$\overline{X}$は$N(m, (0.008)^2)$に従う

$Z = \frac{\overline{X} - m}{0.008}$は標準正規分布に従う