8人の並び方に関する問題です。具体的には、女子5人、男子3人が1列に並ぶときの並び方について、以下の条件を満たす場合の数を求めます。 (1) 女子5人が続いて並ぶ。 (2) 女子5人、男子3人がそれぞれ続いて並ぶ。 (3) 両端が男子である。 (4) どの男子も隣り合わない。 また、男子4人、女子4人が男女交互に1列に並ぶ方法の数を求めます。

1. 問題の内容

8人の並び方に関する問題です。具体的には、女子5人、男子3人が1列に並ぶときの並び方について、以下の条件を満たす場合の数を求めます。

(1) 女子5人が続いて並ぶ。

(2) 女子5人、男子3人がそれぞれ続いて並ぶ。

(3) 両端が男子である。

(4) どの男子も隣り合わない。

また、男子4人、女子4人が男女交互に1列に並ぶ方法の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 女子5人が続いて並ぶ場合

女子5人をひとまとめにして考えると、全体で4つのもの（女子のグループ1つと男子3人）を並べることになるので、並べ方は $4!$ 通りあります。また、女子5人の中での並び方は $5!$ 通りあるので、全体の並び方は $4! \times 5!$ 通りです。

(2) 女子5人、男子3人がそれぞれ続いて並ぶ場合

女子5人のグループと男子3人のグループの2つのグループを並べることになるので、並べ方は $2!$ 通りあります。また、女子5人の中での並び方は $5!$ 通り、男子3人の中での並び方は $3!$ 通りあるので、全体の並び方は $2! \times 5! \times 3!$ 通りです。

(3) 両端が男子である場合

まず、両端に男子を配置する方法は、3人の男子から2人を選んで並べるので $_{3}P_{2}$ 通りです。残りの6人は自由に並べることができるので $6!$ 通り。よって、全体の並び方は $_{3}P_{2} \times 6!$ 通りです。

(4) どの男子も隣り合わない場合

まず、女子5人を並べます。並べ方は $5!$ 通りです。次に、女子5人の間にできる6つのスペース（両端を含む）から3つを選んで男子を配置します。この選び方は $_{6}P_{3}$ 通りです。よって、全体の並び方は $5! \times _{6}P_{3}$ 通りです。

男子4人、女子4人が男女交互に1列に並ぶ場合

まず、男子を先に並べる場合と女子を先に並べる場合の2通りがあります。

男子を先に並べる場合、男子の並び方は $4!$ 通り。男子の間に女子を並べるので、女子の並び方も $4!$ 通り。

女子を先に並べる場合も同様に、$4! \times 4!$ 通り。

したがって、合計の並び方は $2 \times 4! \times 4!$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 女子5人が続いて並ぶ場合: $4! \times 5! = 24 \times 120 = 2880$ 通り

(2) 女子5人、男子3人がそれぞれ続いて並ぶ場合: $2! \times 5! \times 3! = 2 \times 120 \times 6 = 1440$ 通り

(3) 両端が男子である場合: $_{3}P_{2} \times 6! = 6 \times 720 = 4320$ 通り

(4) どの男子も隣り合わない場合: $5! \times _{6}P_{3} = 120 \times (6 \times 5 \times 4) = 120 \times 120 = 14400$ 通り

男子4人、女子4人が男女交互に1列に並ぶ場合: $2 \times 4! \times 4! = 2 \times 24 \times 24 = 1152$ 通り