与えられた数列 $2, \frac{2}{3}, \frac{2}{3^2}, \frac{2}{3^3}, ...$ の和 $S_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列 $2, \frac{2}{3}, \frac{2}{3^2}, \frac{2}{3^3}, ...$ の和 $S_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列は初項 $a = 2$、公比 $r = \frac{1}{3}$ の等比数列です。等比数列の和の公式を利用します。

等比数列の和の公式は次の通りです。

$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

ここで、$a = 2$, $r = \frac{1}{3}$ なので、これを代入します。

$S_n = \frac{2(1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}}$

$S_n = \frac{2(1 - (\frac{1}{3})^n)}{\frac{2}{3}}$

$S_n = 2(1 - (\frac{1}{3})^n) \times \frac{3}{2}$

$S_n = 3(1 - (\frac{1}{3})^n)$

$S_n = 3(1 - \frac{1}{3^n})$

$S_n = 3 - \frac{3}{3^n}$

$S_n = 3 - \frac{1}{3^{n-1}}$

3. 最終的な答え

$S_n = 3 - \frac{1}{3^{n-1}}$