長さ $a = 200 \text{ mm}$、断面積 $A_1 = 400 \text{ mm}^2$ の部分 AC と、長さ $b = 300 \text{ mm}$、断面積 $A_2 = 200 \text{ mm}^2$ の部分 CB からなるアルミニウム製の段付き棒がある。両端 A, B は剛体壁で固定されている。中間点 C に右向きの軸方向引張荷重 $F = 60 \text{ kN}$ を加えたとき、各部分 AC, CB に生じる軸応力 $\sigma_{AC}$、$\sigma_{CB}$ を求めよ。アルミニウムのヤング率 $E = 69 \text{ GPa}$ は区間で等しい。

1. 問題の内容

長さ $a = 200 \text{ mm}$、断面積 $A_1 = 400 \text{ mm}^2$ の部分 AC と、長さ $b = 300 \text{ mm}$、断面積 $A_2 = 200 \text{ mm}^2$ の部分 CB からなるアルミニウム製の段付き棒がある。両端 A, B は剛体壁で固定されている。中間点 C に右向きの軸方向引張荷重 $F = 60 \text{ kN}$ を加えたとき、各部分 AC, CB に生じる軸応力 $\sigma_{AC}$、$\sigma_{CB}$ を求めよ。アルミニウムのヤング率 $E = 69 \text{ GPa}$ は区間で等しい。

2. 解き方の手順

まず、AC部分とCB部分に生じる力をそれぞれ $F_{AC}$、$F_{CB}$とおく。

力の釣り合いより、

$F_{AC} + F_{CB} = F = 60 \text{ kN}$

変形適合条件より、AC部分の伸びとCB部分の縮みの絶対値は等しい。

$\frac{F_{AC}a}{A_1E} = \frac{F_{CB}b}{A_2E}$

ヤング率は一定なので、

$\frac{F_{AC}a}{A_1} = \frac{F_{CB}b}{A_2}$

上記の2式より、$F_{AC}$、$F_{CB}$を求める。

$\frac{F_{AC} \times 200}{400} = \frac{F_{CB} \times 300}{200}$

$F_{AC} = 3 F_{CB}$

これを力の釣り合いの式に代入すると

$3 F_{CB} + F_{CB} = 60$

$4 F_{CB} = 60$

$F_{CB} = 15 \text{ kN}$

$F_{AC} = 3 \times 15 = 45 \text{ kN}$

応力は、$\sigma = \frac{F}{A}$ なので、

$\sigma_{AC} = \frac{F_{AC}}{A_1} = \frac{45 \times 10^3 \text{ N}}{400 \text{ mm}^2} = \frac{45000}{400} \text{ MPa} = 112.5 \text{ MPa}$ (引張)

$\sigma_{CB} = \frac{-F_{CB}}{A_2} = \frac{-15 \times 10^3 \text{ N}}{200 \text{ mm}^2} = \frac{-15000}{200} \text{ MPa} = -75 \text{ MPa}$ (圧縮)

3. 最終的な答え

$\sigma_{AC} = 112.5 \text{ MPa}$ (引張), $\sigma_{CB} = 75 \text{ MPa}$ (圧縮)