(1) $\sqrt{2}$ と $\sqrt[3]{3}$ が無理数であることを示す。 (2) $p$, $q$, $\sqrt{2}p + \sqrt[3]{3}q$ がすべて有理数であるとき、$p=q=0$ であることを示す。

## 解答

1. 問題の内容

(1) $\sqrt{2}$ と $\sqrt[3]{3}$ が無理数であることを示す。

(2) $p$, $q$, $\sqrt{2}p + \sqrt[3]{3}q$ がすべて有理数であるとき、$p=q=0$ であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{2}$ が無理数であることの証明は、背理法を用います。

$\sqrt{2}$ が有理数であると仮定すると、互いに素な自然数 $m, n$ を用いて $\sqrt{2} = \frac{m}{n}$ と表すことができます。

両辺を2乗すると、

$2 = \frac{m^2}{n^2}$

より

$m^2 = 2n^2$

となります。したがって、$m^2$ は偶数であるため、$m$ も偶数です。

$m = 2k$ ($k$ は自然数) とおくと、

$(2k)^2 = 2n^2$

$4k^2 = 2n^2$

$n^2 = 2k^2$

となり、$n^2$ も偶数であるため、$n$ も偶数です。

$m, n$ がともに偶数であることは、$m, n$ が互いに素であるという仮定に矛盾します。

したがって、$\sqrt{2}$ は無理数です。

次に、$\sqrt[3]{3}$ が無理数であることの証明も、背理法を用います。

$\sqrt[3]{3}$ が有理数であると仮定すると、互いに素な自然数 $m, n$ を用いて $\sqrt[3]{3} = \frac{m}{n}$ と表すことができます。

両辺を3乗すると、

$3 = \frac{m^3}{n^3}$

より

$m^3 = 3n^3$

となります。したがって、$m^3$ は3の倍数であるため、$m$ も3の倍数です。

$m = 3k$ ($k$ は自然数) とおくと、

$(3k)^3 = 3n^3$

$27k^3 = 3n^3$

$n^3 = 9k^3$

となり、$n^3$ も3の倍数であるため、$n$ も3の倍数です。

$m, n$ がともに3の倍数であることは、$m, n$ が互いに素であるという仮定に矛盾します。

したがって、$\sqrt[3]{3}$ は無理数です。

(2) $p$, $q$, $\sqrt{2}p + \sqrt[3]{3}q$ がすべて有理数であるとします。

$\sqrt{2}p + \sqrt[3]{3}q = r$ ($r$ は有理数) とおきます。

ここで、$p \neq 0$ かつ $q \neq 0$ と仮定します。

$q \neq 0$ の場合、$\sqrt[3]{3} = \frac{r - \sqrt{2}p}{q}$ となります。$p, q, r$ は有理数なので、$\frac{r - \sqrt{2}p}{q}$ も有理数になるはずですが、$\sqrt[3]{3}$ が無理数であることと矛盾します。

$p \neq 0$ の場合、$\sqrt{2} = \frac{r - \sqrt[3]{3}q}{p}$ となります。$p, q, r$ は有理数なので、$\frac{r - \sqrt[3]{3}q}{p}$ も有理数になるはずですが、$\sqrt{2}$ が無理数であることと矛盾します。

したがって、$p=0$ かつ $q=0$ でなければなりません。

もし $p=0$ ではないとすると、$p$ は有理数なので、$\sqrt{2} = \frac{r-\sqrt[3]{3}q}{p}$ は有理数となり、$\sqrt{2}$が無理数であることに矛盾します。同様に、$q=0$ ではないとすると、$\sqrt[3]{3}$が無理数であることに矛盾します。

従って、$p=0$かつ$q=0$となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2}$ と $\sqrt[3]{3}$ は無理数である。（証明終わり）

(2) $p=q=0$ （証明終わり）